Multiplicación y división de números complejos en forma polar

Multiplicación de números complejos en forma polar

Si queremos multiplicar dos números complejos en forma polar de la forma

z subscript 1 equals open vertical bar z subscript 1 close vertical bar subscript theta 1 end subscript equals open vertical bar z subscript 1 close vertical bar times open parentheses cos theta 1 plus i s e n theta 1 close parentheses
y
z subscript 2 equals open vertical bar z subscript 2 close vertical bar subscript theta 2 end subscript equals open vertical bar z subscript 2 close vertical bar times open parentheses cos theta 2 plus i s e n theta 2 close parentheses

obtenemos

z subscript 1 z subscript 2 equals open vertical bar z subscript 1 close vertical bar times open vertical bar z subscript 2 close vertical bar times open parentheses open parentheses cos theta 1 cos theta 2 minus s e n theta 1 s e n theta 2 close parentheses plus i open parentheses s e n theta 1 cos theta 2 plus cos theta 1 s e n theta 2 close parentheses close parentheses
z subscript 1 z subscript 2 equals open vertical bar z subscript 1 close vertical bar times open vertical bar z subscript 2 close vertical bar times open parentheses cos open parentheses theta 1 plus theta 2 close parentheses plus i s e n open parentheses theta 1 plus theta 2 close parentheses close parentheses

Es decir se obtiene como resultado un número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos │z1││z2│y el argumento es la suma de los argumentos θ1+θ2. 

Ejemplo: Producto de dos números complejos

330° 590°=15120°

 

División de números complejos en forma polar

Si queremos dividir dos números complejos en forma polar de la forma

z subscript 1 equals open vertical bar z subscript 1 close vertical bar subscript theta 1 end subscript equals open vertical bar z subscript 1 close vertical bar times open parentheses cos theta 1 plus i s e n theta 1 close parentheses
y
z subscript 2 equals open vertical bar z subscript 2 close vertical bar subscript theta 2 end subscript equals open vertical bar z subscript 2 close vertical bar times open parentheses cos theta 2 plus i s e n theta 2 close parentheses

obtenemos

z subscript 1 over z subscript 2 equals fraction numerator open vertical bar z subscript 1 close vertical bar over denominator open vertical bar z subscript 2 close vertical bar end fraction times open parentheses cos open parentheses theta 1 minus theta 2 close parentheses plus i s e n open parentheses theta 1 minus theta 2 close parentheses close parentheses

Es decir se obtiene como resultado un número complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos │z1│/│z2│ y el argumento es la diferencia de los argumentos θ1-θ2. 

Ejemplo: División de dos números complejos en forma polar: 

8 subscript straight pi over 2 subscript straight pi divided by 2 end subscript equals 4 subscript straight pi divided by 2 end subscript equals 4 i

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  1. Realizar el producto de 4Π/4.2Π/3
  2. Realizar el producto 1Π/4.2Π
  3. Realizar la división6 subscript straight pi over 3 subscript begin display style straight pi over 2 end style end subscript
  4. Realizar la siguiente operación:8 subscript begin display style straight pi over 2 end style end subscript over 1 subscript begin display style straight pi over 4 end style end subscript
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