Logarítmos y Ecuaciones Exponenciales

La palabra logaritmo procede de dos palabras griegas: lógos que significa: razón,relación, manera, estilo,… y arithmós que significa número.

Los logaritmos fueron una herramienta muy importante antes de que surgieran las calculadoras científicas y los ordenadores. 

Anteriormente, cuando teníamos que realizar operaciones con números grandes teníamos que recurrir a los logaritmos por ejemplo, calcular:    

   
Logarítmos y Ecuaciones Exponenciales

Se comenzaron a utilizar hacia el siglo XVII.


¿QUÉ ENTENDEMOS POR LOGARITMO DE UN NÚMERO?


Lo primero que debes hacer es relacionar logaritmo de un número (abreviadamente escribimos log) con exponente.
Presta mucha atención palabra por palabra:
 

Logaritmo de un número es el exponente al que tenemos que elevar una base para obtener un número:

LOGARITMO DE UN NÚMERO

En el primer ejemplo, tenemos la base 10, elevada a un exponente o logaritmo 2 y obtenemos el número 100. Dicho de otro modo, el logaritmo de 100 en base 10 es igual a dos. Podemos escribir el primer ejemplo:

LOGARITMO DE UN NÚMERO

A la base 10 la elevamos al logaritmo del número 100 (que es el exponente al cual hemos de elevar 10 para obtener el número 100.

El valor de la base se escribe como subíndice de la abreviatura de logaritmo:  LOGARITMO DE UN NÚMERO

En el segundo ejemplo: 3 es el logaritmo en base dos del número 8. Dicho de otro modo, el logaritmo de 8 en base 2 es igual a 3.

Equivale a escribir: LOGARITMO DE UN NÚMERO Si elevamos la base al valor del logaritmo obtenemos el número: LOGARITMO DE UN NÚMERO

En el tercer ejemplo tienes lo mismo; la base 3 elevada al exponente 4 es igual al número, en este caso, 81, luego: LOGARITMO DE UN NÚMERO

El logaritmo en base 3 del número 81 es igual a 4.

Es lo mismo que escribir: LOGARITMO DE UN NÚMERO

Descomponiendo a 81 en factores primos: LOGARITMO DE UN NÚMERO

Posiblemente tengas un poco lío. Procura leer despacio entendiendo cuanto lees.

LOGARITMO DE UN NÚMERO

Respuestas: A): 4,  B):3,  C): 2,  D):  –2: E): – 6

Soluciones:

Siendo x el valor del logaritmo de LOGARITMO DE UN NÚMERO podemos escribir: LOGARITMO DE UN NÚMERO Si las bases son iguales también lo serán los exponentes, luego, LOGARITMO DE UN NÚMERO

Sea x el valor del logaritmo de LOGARITMO DE UN NÚMEROpodemos escribir: LOGARITMO DE UN NÚMERO

Si x es el valor del logaritmo de LOGARITMO DE UN NÚMERO escribimos: LOGARITMO DE UN NÚMERO

Sabemos que 0,5 elevando al cuadrado es igual a 0,25.

0,5 podemos escribir como LOGARITMO DE UN NÚMERO sustituyendo este valor obtenemos: LOGARITMO DE UN NÚMERO

Recuerda que una potencia con exponente negativo podemos escribirla como la unidad dividida por dicha potencia pero con exponente positivo: LOGARITMO DE UN NÚMERO

Al revés, si tienes una potencia con numerador, la unidad y el denominador es una potencia con exponente positivo puedes escribir, sin numerador pero la potencia con exponente negativo:

LOGARITMO DE UN NÚMERO

Siguiendo con el ejercicio: LOGARITMO DE UN NÚMERO de donde vemos que LOGARITMO DE UN NÚMERO

Debajo tienes la secuencia completa: LOGARITMO DE UN NÚMERO

E) La secuencia completa será:

LOGARITMO DE UN NÚMERO

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