Logarítmos decimales o de Briggs - Logarítmos Neperianos - Ecuaciones Exponenciales

Los logaritmos decimales son los que has venido utilizando en los últimos ejercicios, que como se te dijo, cuando no escribimos la base, se entiende que es 10 el valor de la misma y la escribimos log.

Los logaritmos de base 10 se deben al matemático inglés de la universidad de Oxford, Henry Briggs el año 1624.

LOGARITMOS NEPERIANOS

Los primeros logaritmos se deben al matemático escocés John Napier o Neper hacia el año 1600. La base de estos logaritmos es un número irracional cuyo valor es:  
                        2,7182818284590452354

Recuerda que números irracionales son los que escribimos con infinitas cifras decimales y que, además,  no son periódicas. 

A esta base se la conoce con el nombre número e. Por lo tanto, base e o base 2,7182818284590452354…es lo mismo. 

Los logaritmos neperianos se escriben: L(5) que significa logaritmo neperiano de 5 o logaritmo de 5 en base o también, ln(5).

Debemos a Briggs el cambio a una base sencilla, no obstante, si sigues estudiando cursos superiores de matemáticas son los neperianos quienes tienen mayor importancia.

ECUACIONES EXPONENCIALES


Se llaman ecuaciones exponenciales a las que la incógnita aparece como exponente.

Ejemplo: ECUACIONES EXPONENCIALES

Estas ecuaciones no son desconocidas para ti ya que hemos hecho uso al tratar los logaritmos.

17.34  Calcula el valor de x en la ecuaciónECUACIONES EXPONENCIALES

Respuesta: ECUACIONES EXPONENCIALES

Solución:

1) Esta ecuación podemos escribirla: ECUACIONES EXPONENCIALES

Si dividimos por 3 a ambos miembros de la igualdad obtenemos: ECUACIONES EXPONENCIALES

 Si las bases son iguales, también lo serán los exponentes ECUACIONES EXPONENCIALES

2) Más fácil: Descomponiendo 729 en sus factores primos transformamos: ECUACIONES EXPONENCIALES de donde, ECUACIONES EXPONENCIALES

17.35  Calcula el valor de n en la ecuación:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Respuesta: ECUACIONES EXPONENCIALES

Solución:

La ecuación del enunciado podemos escribirla: ECUACIONES EXPONENCIALES

Observo que el exponente: ECUACIONES EXPONENCIALES

son los términos de una progresión aritmética.
No conozco el valor del último término de una progresión de n términos en la que el primero vale 1 y la diferencia de la progresión 2.

Aplico la fórmula para conocer el valor del último término:

ECUACIONES EXPONENCIALES     

Haciendo uso de la fórmula de la suma de una progresión aritmética:

ECUACIONES EXPONENCIALES

y sustituyendo por los valores numéricos que conocemos obtengo: ECUACIONES EXPONENCIALES

de donde la suma vale: ECUACIONES EXPONENCIALES

Retomo la ecuación.

ECUACIONES EXPONENCIALES

que puedo escribirla:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Transformo la raíz cuadrada en potencia y me queda:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Elevando una potencia a otra: ECUACIONES EXPONENCIALES

Si las bases son iguales, también lo serán sus exponentes: ECUACIONES EXPONENCIALES

 

17.36   En la ecuación: ECUACIONES EXPONENCIALES ¿Cuánto vale x?

RespuestaECUACIONES EXPONENCIALES

Solución:

Recuerda que en un producto de dos potencias que tienen los mismos exponentes puedes multiplicar las bases dejando el mismo exponente: ECUACIONES EXPONENCIALES

17.37  Calcula el valor de x en la ecuación:   ECUACIONES EXPONENCIALES

Respuesta: ECUACIONES EXPONENCIALES

17.38   Calcula el valor de x en la ecuaciónECUACIONES EXPONENCIALES

Respuesta: 

17.39   Calcula el valor de x en la ecuación:   

Respuesta: ECUACIONES EXPONENCIALES

17.40   Calcula los valores de y en el sistema:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Respuestas: ECUACIONES EXPONENCIALES

17.41   Calcula los valores de x en la ecuación:   ECUACIONES EXPONENCIALES

Respuestas: ECUACIONES EXPONENCIALES

17.42    Calcula los valores de y en el sistema:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Respuestas: ECUACIONES EXPONENCIALES

17.43     Calcula los valores de y en el sistema: 

Respuestas

17.44     Calcula los valores de y en el sistema:

ECUACIONES EXPONENCIALES

RespuestasECUACIONES EXPONENCIALES

17.45    Cuánto vale x en la ecuación:   

ECUACIONES EXPONENCIALES

RespuestaECUACIONES EXPONENCIALES

Solución:

1) Se entiende que el número de raíces en el formato del enunciado son infinitas. ¿Crees que si al Océano Atlántico le quitas una gota de agua lo notarán los ecologistas?
Si tienes infinitas raíces, una menos, ni se nota.

ECUACIONES EXPONENCIALES

ECUACIONES EXPONENCIALES

Si te fijas bien, el exponente es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón ECUACIONES EXPONENCIALES

El valor de la suma, en este caso, viene dada por:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Reemplazando las letras por sus valores:

ECUACIONES EXPONENCIALES

Vemos que: ECUACIONES EXPONENCIALESpodemos escribir como:

ECUACIONES EXPONENCIALES

17.46   Calcula el valor de x en la ecuación: ECUACIONES EXPONENCIALES

Respuesta: ECUACIONES EXPONENCIALES

Solución:

La ecuación ECUACIONES EXPONENCIALES podemos escribirla: ECUACIONES EXPONENCIALES  

Si a ECUACIONES EXPONENCIALES le sustituimos por m tendremos: ECUACIONES EXPONENCIALES

Haciendo aplicación de:

ECUACIONES EXPONENCIALESECUACIONES EXPONENCIALES

Tomando la solución ECUACIONES EXPONENCIALESvemos que ECUACIONES EXPONENCIALESes decir, de donde ECUACIONES EXPONENCIALESde donde ECUACIONES EXPONENCIALES

 

Autor: Agradecemos a Don Ignacio Pujana el envío de este magnífico curso.

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