Dominio de las Funciones Logaritmicas

Sabemos que el logaritmo de un número es el exponente al que hemos de elevar la base para obtener el número.

funciones matematicas

En el ejemplo:

la base es 10                       

el número es N                        

el logaritmo es x

 

Según la definición tendremos:funciones matematicas

 

La base ha de ser positiva y mayor que cero: 10,2.71,0,2.

 

¿Puede valer la base de los logaritmos menos que 1, es decir, 0<base<1?

 

Sí y vamos a demostrarlo cambiando la base de los logaritmos a un número menor que 1, por ejemplo, 0,43.

Supongamos que funciones matematicas, esto significa que funciones matematicas

Imaginemos que funciones matematicas, lo que significa: funciones matematicas

Observamos que funciones matematicasporque ambos son iguales a N.

 

Tomamos logaritmos en los dos miembros de la igualdad en base 10:

 

funciones matematicas

 

Despejamos y (logaritmo en la nueva base): funciones matematicas

 

Sabemos que el logaritmo de la base funciones matematicas, lo mismo que funciones matematicas, etc. por ello: funciones matematicas

 

Sustituyendo el valor de x:y = funciones matematicas

 

Ejemplo:

 

¿Cuál es el logaritmo de 2 en base 0,43?

 

Respuesta: log(2) / log(0,43) = -0,821293556

 

El número del cual calculamos su logaritmo debe ser positivo > 0,  no existen logaritmos de números negativos.

 

Existen logaritmos negativos cuando los números son positivos y menores que la unidad, ejemplos: log(0,3) = -0,522878745   log(0,0021)= -2,67778071

 

Los logaritmos se hallan de números reales y positivos lo que significa que su dominio será:funciones matematicas

 

Acabamos de indicar: “el dominio puede ser…” porque en cada caso convendrá analizar:

 

27.34 Halla el dominio de la función: funciones matematicas

 

Respuesta: funciones matematicas

 

Solución

 

La cantidad que tienes entre paréntesis 6-3x debe valer >0 porque no podemos tomar logaritmos ni de cero ni de números negativos.

 

log(6-3x)>0, es decir, 6>3x, , simplificando:2>x.

 

Observa que al 2 no lo tenemos en cuenta porque no podemos tomar logaritmos de 0.

27.35 Calcula el dominio de la función f(x)= log(x+2)

 

Respuesta: funciones matematicas

 

Solución

 

El número del que obtenemos el logaritmo debe ser mayor que 0,   (x+2)>0.

Veamos que x ha de ser mayor que -2: x>-2 por lo que el dominio será: 

 

funciones matematicas

 

27.36 Calcula el dominio de la función funciones matematicas

Respuesta: funciones matematicas

 

Solución

Veamos que funciones matematicasdebe ser mayor que cero.

 

Como x está elevado al cuadrado, sea cual fuere el signo del valor de la variable, al sustituir en funciones matematicas será positivo.

 

funciones matematicas

funciones matematicasserá positivo siempre que x esté comprendido en el intervalo funciones matematicas,por un lado, y por otro, funciones matematicas

 

funciones matematicas

 

Los valores situados en el intervalo con línea roja no cumplen con la inecuación funciones matematicas

 

funciones matematicas

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