Teoría: Derivadas de operaciones

a) Derivada de una suma: es igual a la suma de las derivadas de los sumandos.

f(x) = v + w                  f´(x) = v´ + w´

 

 

Ejemplo:

f(x)= 3x + 7x                        f´(x)= 3 + 7

f(x)= 4x3 + 5x2 + 7x              f´(x)= 12x2 + 10x+ 7

 

 

b) Derivada de una resta: es la resta de las derivadas de los términos.

f(x)= v - w                       f´(x)= v´ - w´

 

Ejemplo:

f(x)= 2x - 3x                     f´(x)= 2 - 3

f(x)= 5x4 - 6x3 - 2x           f´(x)= 20x3 - 18x2 - 2

 

 

c) Derivada de una función de grado “n”:

f(x)= a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-2x2 + an-1x + an

f´(x)= (a0·n·xn-1) + (a1·n-1·xn-2) + (a2·n-2·xn-3) + … + (an-2·2·x) + (an-1)

 

Ejemplo:

f(x)= 7x5 + 3x4 - 2x2 + 5

f´(x)= 35x4 + 12x3 - 2x

 

 

d) Derivada de un producto: es la suma de la derivada del primer factor por el segundo factor sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo

f(x)= v · w                  f(x)= (v´ · w) + (v · w´)

 

 

Ejemplo:

derivada de un producto

 

 

e) Derivada de una constante por una función: es igual a la constante por la derivada de la función.

f(x)= k · w              f´(x)= k · w`

 

Ejemplo:

f(x)= 5 · (4x3 - 2x)        f´(x)= 5 · (12x3 - 2)

 

 

f) Derivada de un cociente: es el cociente de:

Numerador: derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador por la derivada del denominador.

Denominador: denominador al cuadrado.

 

derivada de un consciente

 

Ejemplo:

derivada de un cociente

 

 

g) Derivada de una función dividida por una constante: es igual a la derivada de la función dividida entre la constante.

derivada de una función dividida por una constante

 

Ejemplo:

derivada dividida por una costante

 

 

h) Derivada de una constante dividida por una función: es igual a menos la constante por la derivada de la función, dividido entre la función al cuadrado.

derivada de una costante

 

Ejemplo:

derivada de una constante

 

 

i) Derivada de una potencia: es igual al exponente por la base elevada al exponente menos 1 por la derivada de la base.

derivada de una potencia

 

Ejemplo: 

derivada de una potencia

 

 

j) Derivada de una raíz cuadrada: es igual a la derivada del radicando dividido entre 2 por la raíz cuadrada del radicando.

derivada16

 

Ejemplo: 

derivada de una raíz

 

 

k) Derivada de una raíz de grado “n”: es igual a la derivada del radicando dividida entre el producto del índice de la raíz por la raíz de grado “n” del radicando elevado a “n-1”.

derivada de una raíz de grado n

 

Ejemplo: 

derivada de una raíz de grado N

 

 

l) Derivada de un logaritmo: Hay dos formas de definirla:

Es igual al producto de dos factores: la derivada del argumento “w” dividida por el argumento multiplicado por el logaritmo en base “b” del número “e”.

derivada de un logarítmo

 

Ejemplo:

derivada de un logarítmo

 

También se puede definir: la derivada del argumento “w” dividido por el argumento multiplicado por uno dividido por el logaritmo neperiano de la base “b”.

derivada de un logarítmo

 

Ejemplo:

derivada de un logaritmo

 

 

m) Derivada de un logaritmo neperiano: Es igual a la derivada del argumento dividido por el argumento.

derivada24

 

Ejemplo:

derivada de un logaritmo neperiano

 

 

n) Derivada de una función exponencial: es igual a la derivada del exponente por el número elevado al exponente por el logaritmo neperiano de la base.

derivada de una función exponencial

 

Ejemplo: 

derivada de una función exponencial

 

Si la base de la función exponencial es el número “e” su derivada es igual a la derivada del exponente por el número elevado al exponente

derivada de una función exponencial

 

Ejemplo:

derivada de una función exponencial

 

o) Derivada de una función potencial exponencial: es igual a la derivada de la expresión como función potencial más la derivada de la expresión como función exponencial.

derivada de una función potencial

 

Ejemplo: 

derivada de una función potencial exponencial

 

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