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domingo, 19 agosto 2018 español
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Función de dos variables independientes

En una función con 2 variables independientes f(x, y) podemos derivar individualmente respecto a cada una de estas variables. Estaríamos calculando la primera derivada parcial de la función respecto a la variable utilizada. La otra variable se comportaría como una constante.

 

Para calcular estas derivadas parciales se aplican las mismas fórmulas que hemos utilizado en las derivadas de funciones con una sola variable independiente.

 

1ª derivada parcial de la función f (x, y) respecto a la variable independiente “x”:

 

derivada465

 

1ª derivada parcial de la función f (x, y) respecto a la variable independiente “y”:

 

derivada466

 

Si volviéramos a derivar la primera derivada parcial de la función respecto a la variable utilizada obtendríamos la segunda derivada:

 

2ª derivada parcial de la función f (x, y) respecto a la variable independiente “x”:

 

derivada467

 

2ª derivada parcial de la función f (x, y) respecto a la variable independiente “y”:

derivada468

 

Si la primera derivada parcial respecto a la variable “x” la deriváramos respecto a la variable “y” obtendríamos la derivada cruzada de la función f (x, y) respecto a ambas variables, también denominada derivada segunda de la función con respecto a las variables “x” e “y”:

derivada469

 

ATENCIÓN: obtendríamos el mismo resultado si deriváramos primero respecto a la variable “x” y luego respecto a la variable “y” que si lo hiciéramos en el orden inverso, primero sobre la variable “y” y luego sobre la variable “x”.

 

derivada470

 

EJERCICIOS

1.- f(x, y) = 4x3 + 5y2

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada471

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada472

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivad473

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada474

 

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: Partimos de la primera derivada parcial respecto a “x” y la derivamos respecto a “y” (también podríamos haber partido de la primera derivada parcial respecto a “y” y la derivar respecto a “x”).

derivada475

 

 

2.- f(x, y) = 5x - 3y4

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada476

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada477

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada478

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada479

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada480

 

 

3.- f(x, y) = 6y - 2y3

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada481

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada482

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada483

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada484

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada485

 

 

4.- f(x, y) = 7x3 + 5x2 + 4

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada486

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada487

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada488

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada489

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada490

 

 

5.- f(x, y) = 5xy - 3

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada491

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada492

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada494

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada494

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada495

 

 

6.- f(x, y) = 4x3y2

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada496

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada497

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada498

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada499

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada500

 

 

 

7.- f(x, y) = 4x3y2 + 3x3 + 2y - 6

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada553

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada554

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada557

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada555

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada556

 

 

8.- f(x, y) = 7x2y2 – 2xy+ 3

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada558

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada559

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada560

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada561

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada562

 

 

9.- f(x, y) = 8x3y – 4xy2 + 3x2 – 4y2

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada563

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada564

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada565

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada566

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada567

 

 

10.- f(x, y) = 2x3 * (5xy3 + 3xy)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada568

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada569

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada570

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada571

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivda572

 

11.- f(x, y) = 4xy * (4x2y+ 2y)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada573

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada574

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada575

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada576

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada577

 

 

12.- f(x, y) = 5x2 * (7x2 – 3y2)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada578

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada579

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada580

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada581

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada582

 

 

 

13.- f(x, y) = 4y2 * (2x3 + 4y)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada583

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada584

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada585

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada586

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada587

 

 

 

14.- f(x, y) = (5x- 2y) * (3x+ 4)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada588

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada589

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada590

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada591

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada592

 

 

 

15.- f(x, y) = (2x+ 3y) * (5x+ 7y)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada593

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada594

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada595

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada596

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada597

 

 

16.- f(x, y) = (3x2 + 5y3) * (4x3 - 2y5)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada598

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada599

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada600

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada601

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada602

 

 

 

17.- f(x, y) = (3y2 + 2xy) * (2x4 - 3x2y)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

deriva603da

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada604

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada605

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada606

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada60

 

 

 

18.- f(x, y) = ex + eY

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada608

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada609

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada610

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada611

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada612

 

 

 

19.- f(x, y) = e3XY + e2Y

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada613

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada614

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada615

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada616

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada617

 

 

20.- f(x, y) = 53XY + xy2 + 3x4 - 5y2

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada618

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada619

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada620

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada621

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada622

 

 

 

21.- f(x, y) = y * sen x

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada623

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada624

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada625

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada626

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada627

 

 

 

22.- f(x, y) = sen (x2) * cos (y2)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada628

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada629

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada630

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada631

derivada632

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada633

 

 

 

23.- f(x, y) = sen (3x4 + 2y2)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada634

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada635

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada636

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada637

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada639

 

 

 

24.- f(x, y) = ln (5x2 - 3y)

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada640

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada641

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada642

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada643

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada644

 

 

 

25.- f(x, y) =  derivad645

Primera derivada parcial respecto a “x”:

derivada646

Segunda derivada parcial respecto a “x”:

derivada647

Primera derivada parcial respecto a “y”:

derivada648

Segunda derivada parcial respecto a “y”:

derivada649

derivada650

Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”:

derivada651

 

 

 

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