Derivada de una función implícita

Mientras que en una función explícita la variable independiente se localiza en uno de los términos y la variable dependiente en el otro:

y = f(x)

 

Por ejemplo:

derivada395

 

En la función implícita ambas variables se localizan en el mismo término:

F(x, y) = 0

 

Por ejemplo:

5y - 3x2 = 0

 

Para derivar una función implícita hay tres posibilidades:

 

a) Despejar la variable dependiente “y” y derivar como una función normal:

Por ejemplo:

derivada396

 

Y ahora derivaríamos como una función explícita.

derivada397

 

b) Derivar utilizando las reglas habituales y a continuación despejar y'.

 

Sabemos que x' = 1

 

En cambio la variable dependiente “y”, su derivada es la que estamos calculando y no tiene por qué ser igual a 1, por ello la dejaremos indicada como y'.

 

Una vez derivada la función despejaremos y'.

 

Por ejemplo:

derivada398

 

Derivamos:

derivada399

 

Y despejamos:

derivada400

 

c) En funciones más complejas es útil aplicar la siguiente regla:

derivada401

 

Siendo:

Fx la derivada de la función F (x, y) respecto a la variable independiente “x”

Fy la derivada de la función F (x, y) respecto a la variable dependiente “y”

 

 

Para aplicar esta fórmula se tiene que cumplir que derivada402

 

Por ejemplo:

derivada403

 

Escribimos la función en la forma: derivada404

derivada405

 

Luego:

derivada406

 

Este es el método que vamos a utilizar en los siguientes ejemplos.

 

Ejercicios

1.- Dada la función: derivada407

derivada408

 

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda y escribimos la función en la forma:

derivada409

 

Luego:

derivada410

 

Vamos a derivar nuevamente esta función utilizando el segundo procedimiento indicado:

derivada411

 

Derivamos:

derivada412

 

Despejamos:

derivada413

 

2.- Dada la función:  derivada414

derivada415

 

Escribimos la función en la forma: derivada416

derivada417

 

Luego:

derivada418

 

3.- Dada la función:  derivada419

derivada420

 

Escribimos la función en la forma: derivada421

derivada422

 

Luego:

derivada423

 

4.- Dada la función: derivada424

derivada425

 

Escribimos la función en la forma: derivada426

derivada427

 

Luego:

derivada428

 

5.- Dada la función: derivada429 

derivada430

 

Escribimos la función en la forma: 

derivada432

 

Luego:

derivada433

 

6.- Dada la función:  derivada437

derivada434

 

Escribimos la función en la forma: derivada435

derivada436

 

Luego:

derivada438

 

7.- Dada la función: derivada439 

derivada440

 

Escribimos la función en la forma: derivada441

derivada442

 

Luego:

derivada443

 

 

 8.- Dada la función: 5 · cos y = 6 · sen x

 derivada444

 

Escribimos la función en la forma: F (x, y) = 5 · cos y - 6 · sen x

Fx = 6 · cos x

Fy = 5 · (-sen y)

 

 

Luego:

derivada445

 

 

 9.- Dada la función: sen xy = cos xy

derivada446

 

Escribimos la función en la forma: F (x, y) = sen xy - cos xy

Fx = y · cos xy + y · sen xy

Fy = x · cos xy + x · sen xy

 

Luego:

derivada447

 

10.- Dada la función: derivada448

derivada449

 

Escribimos la función en la forma: derivada450

derivada451

 

Luego:

derivada452

derivada453

 

 

11.- Dada la función: 4xy = 3yx

derivada454

 

Escribimos la función en la forma: F (x, y) = 4xy - 3yx

Fx = 4y · xy-1 - 3yx ·ln y

Fy = 4xy ·ln x-3x · yx-1

 

Luego:

 derivada455
 

 
 

 
CASO DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

1.- Dada la función: 5x2y- 3xy2 = 7xyz

derivada456

 

Escribimos la función en la forma: F (x, y, z) = 5x2y- 3xy2 - 7xyz

Fx = 10xy- 3y2 - 7yz

Fy = 5x2 - 6xy- 7xz

Fz = -7xy

 

 

Luego:

derivada457

 

 
 

2.- Dada la función: ln 3xy + ln 2xz= ln 5yz

derivada458

 

Escribimos la función en la forma: F (x, y, z) = ln 3xy + ln 2xz- ln 5yz

derivada459

 

Luego:

derivada460

 

 

3.- Dada la función: sen xyz = cos xyz

derivada461

 

Escribimos la función en la forma: F (x, y, z) = sen xyz - cos xyz

Fx = yz · cos xyz - yz · sen xyz

Fy = xz · cos xyz - xz · sen xyz

Fz = xy · cos xyz - xy · sen xyz

 

Luego:

derivada462

 

 

4.- Dada la función: 3xyz + 5yxz = 8zxy

derivada463

 

Escribimos la función en la forma: F (x, y, z) = 3xyz + 5yxz - 8zxy

Fx = 3yz · xyz-1 + 5z · yxz · ln y - 8y · zxy · ln z

Fy = 3z · xyz · ln x + 5xz · yxz-1 – 8x · zxy · ln z

Fz = 3y · xyz · ln x + 5x · yxz · ln y – 8xy · zxy-1

 

Luego:

derivada464

 

 

 

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