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martes, 14 agosto 2018 español
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Cónicas. Circunferencia - Elipse - Hipérbola - Parábola

Se entiende por CÓNICAS o SECCIONES CÓNICAS a las curvas planas que se producen por la  intersección de un plano con un cono.
Las intersecciones del plano con el cono dependen del modo como éstas se produzcan. Cambiando el ángulo del plano y el lugar donde éste corta al cono, se producirán secciones diferentes.

En el siguiente dibujo tienes una cartulina amarilla que “corta”

matemáticas conicas

 

perpendicularmente al eje del cono y compruebas que la sección es el círculo en azul, siempre que el corte no se produzca por el vértice. Su contorno es una circunferencia.
Estudiaremos su contorno, es decir, la circunferencia.

Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices, sin pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse.

Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul:

matemáticas conicas

Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono pero paralela a la generatriz del mismo  obtenemos una parábola:

conicas

 

Si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono, obtenemos una hipérbola.

matemáticas conicas

Si te fijas en la figura siguiente, a las cónicas podemos clasificarlas teniendo en cuenta el ángulo que forman el plano con el eje del cono:

matemáticas conicas

 

Si el plano es perpendicular al eje, tenemos una sección circular cuyo contorno es la circunferencia.

Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el ángulo que forma el plano con la generatriz, tenemos que la sección será una elipse.

Si el plano es paralelo a la generatriz tenemos la parábola.

Si el ángulo que forma el plano con la base es mayor del que forma con la generatriz, tenemos la hipérbola.

Cuanto acabas de leer lo tienes representado a continuación:

matemáticas conicas

 

LAS CÓNICAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Fueron los griegos quienes “inventaron” la geometría. La palabra geometría significa medir la tierra.
La acción de medir la tierra la tenían que repetir cada vez que el río Nilo se inundaba y borraba las señales y límites anteriores.

De esta práctica surgieron fórmulas de distintas figuras geométricas para el cálculo de superficies y volúmenes.

Tiene que transcurrir mucho tiempo, hasta el siglo XVII en que René Descartes aborda la resolución de problemas geométricos haciendo aplicación del álgebra con la ayuda especial de las coordenadas cartesianas.

Este es el comienzo del estudio de la geometría en el que para la resolución de los problemas geométricos no sólo se necesitan regla y compás sino que examinándolos, analizándolos, reducirlos a expresiones y ecuaciones algebraicas para su inmediata resolución.

 A esta Geometría la conocemos como Geometría Analítica.

A continuación pasamos a estudiar separadamente cada una de las superficies planas que hemos obtenido por la intersección de planos y conos.

Las ecuaciones de cada cónica las mostramos en forma canónica o reducida.

El significado de canónico lo aceptamos como lo que es propio de cada figura.

También haremos mención de cada ecuación en su forma general

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