Zona Esf√©rica y Vol√ļmen de la Zona Esf√©rica

Se conoce con el nombre de zona esférica a la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre si y que cortan a dicha esfera:

Zona Esférica

En la última figura tienes los planos paralelos entre sí y que cortan a la esfera. A la derecha tenemos la zona esférica.

VOLUMEN DE LA ZONA ESFÉRICA
1) Un modo de calcular el volumen de la zona esférica sería la de calcular el volumen de la esfera y restarle el valor de los volúmenes de los dos casquetes esféricos.

En la figura siguiente, en color verde tenemos la zona esférica:
Altura del casquete superior………..2,071
Radio del casquete superior………...5
Altura del casquete inferior….……5,071
Radio del casquete inferior………..6,782
Radio de la esfera…(R)..………….7,071

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

Calculamos el volumen del casquete superior.
Aplicamos la primera fórmula que dedujimos:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

Podemos sacar factor común a h dentro del paréntesis y nos queda:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

Calculamos el volumen del casquete esférico inferior:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

La suma de los volúmenes de los dos casquetes esféricos es:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

Calculamos el volumen de la esfera:

vol de la esfera

Sustituimos por sus valores numéricos:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

La diferencia entre el volumen de la esfera y la suma de los volúmenes de los casquetes nos dará el volumen de la zona esférica:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

2) Otro modo de calcular el volumen de una zona esférica sería:
a) Hallar el volumen del casquete esférico superior, igual que antes.
b) Tomar como 2º casquete esférico a la porción de esfera restante y hallar la diferencia de ambos volúmenes:
Sirviéndonos de la figura anterior,

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

1º Calculo el volumen del casquete superior de la figura siguiente en color verde:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

 

Calculo el casquete en color azul de la siguiente figura:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

La diferencia entre ambos volúmenes corresponderá al volumen de la zona esférica (color azul) existente entre estos dos casquetes:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

Ves que corresponde al mismo resultado anteriormente obtenido.

Por fin, una 3ª forma de calcular el volumen de la zona esférica conociendo los radios, aprovechando el cálculo que hicimos para obtener el volumen del casquete esférico conociendo el radio del casquete:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

sería, teniendo en cuenta la siguiente figura en la que conocemos los radios y la altura entre los centros de las secciones:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

Añadimos el triple del segundo radio al cuadrado en la última fórmula y nos queda:

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

15(3).46 Con los datos que figuran en la última figura calcula el volumen de la zona esférica que tienes en color verde.
El resultado debe coincidir con los ya obtenidos.

Respuesta: VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

15(3).47 Calcula el volumen de la zona esférica cuyos datos aparecen en la siguiente figura.
Debes calcular de dos modos diferentes comprobando que obtienes los mismos resultados.

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

Respuesta: VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

15(3).48 Calcula la cantidad de litros que caben en la pecera que tienes en la figura siguiente sabiendo que las medidas las tienes en centímetros. Los resultados pueden ser aproximados al utilizar varias cifras decimales.

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

VOLUMEN DE LA ZONA ESF√ČRICA

 

Autor: Agradecemos a Don Ignacio Pujana el envío de este magnífico curso.

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