Volumen del Casquete Esférico (2)

Acabas de estudiar el volumen del sector esférico y has visto que es igual a la suma del volumen del casquete esférico más el volumen del cono:

volumen del sector esférico

De donde obtenemos la igualdad:

volumen del sector esférico

volumen del sector esférico

En esta última figura vamos a fijarnos únicamente en el cono.

R es el radio de la esfera
r es el radio del cono y del casquete esférico
R – h es la altura del cono
h es la altura del casquete esférico.

El volumen del cono de la figura anterior es igual:

volumen del icono

Calculamos el valor del radio del casquete esférico (r) en el casquete de color verde de la siguiente figura:

volumen del icono

Observamos que se trata de un cateto de un triángulo rectángulo. El otro cateto es R – h y la hipotenusa es R.
Por el teorema de Pitágoras tenemos:

teorema de Pit√°goras

En la fórmula anteriormente obtenida y eliminando los signos x.:

volumen del cono

volumen de cono

y que:

volumen casquete esférico

Sustituyendo valores conocidos tendremos:

vol casquete

Haciendo operaciones en el sustraendo y reduciendo términos semejantes PASO a PASO:

volumen casquete esférico

Concluimos escribiendo el volumen del casquete esférico:

volumen del casquete esférico

Esta fórmula se suele presentar también:

volumen del casquete esférico

Hemos multiplicado y dividido por 3 al primer término para poder sacar factor común a volumen del casquete esf√©rico

volumen del casquete esférico

volumen del casquete esférico

Otra forma de calcular el volumen del casquete esférico es la de hacer uso del radio del cono, que también el radio del casquete:

volumen del casquete esférico

En la fórmula anterior:

volumen del casquete esférico

Vamos a escribirla:

volumen del casquete esférico

Hemos sacado factor común a h en lugar de volumen del casquete esf√©rico lo que equivale a multiplicar por h a cada uno de los términos que están dentro del paréntesis.
Por Pitágoras teniendo en cuenta los datos de la última figura tenemos:

volumen del casquete esférico

Este valor que acabamos de obtener lo sustituimos en la fórmula anterior del volumen del casquete esférico:

volumen del casquete esférico

volumen del casquete esférico

Puedes usar cualquiera de las dos fórmulas:

volumen del casquete esférico

 

15(3).44 Calcula el volumen del casquete esférico cuyas medidas las tienes señaladas en la siguiente figura:

volumen del casquete esférico

Respuesta: volumen del casquete esférico

15(3).45 Haciendo aplicación de las dos fórmulas estudiadas sobre el volumen del casquete esférico cuyas medidas son:
10 m. el radio de la esfera
8 m. el radio del casquete esférico
4 m. la altura del casquete esférico.
Comprueba sus resultados.

Respuesta: volumen del casquete esférico

Nota: Cuando hagas cálculos con decimales, los resultados obtenidos pueden tener pequeñas diferencias debidas a redondeos y medidas que a veces, convendría tomarlas con 3 ó 4 cifras decimales.

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