Puntos de corte de los ejes de abscisas y ordenadas

Puntos de corte de los ejes de abscisas y ordenadas

1.- La función corta el eje de abscisas en aquellos valores de la variable independiente “x” que hacen 0 el valor de la variable dependiente “y”. Para calcular estos valores igualamos a cero la función y hallamos las raíces.

funciones

Las raíces son:

X1 = 2,70

X2 = -3,70

 

2.- La función corta el eje de ordenadas en el valor que toma la variable dependiente “y” cuando la variable independiente “x” vale 0.

Dada la función típica cuadrática: y = ax2 + bx + c

y = a * 02 + b * 0 + c = c

Por lo tanto, la función cuadrática corta al eje de ordenadas precisamente en el valor del término independiente “c”.

y = 2x2 + 2x – 20

Si x = 0, entonces y = -20

funciones

Veamos otro ejemplo:

y = 5x2 - 10x – 25

1.- Calculamos el punto (s) de corte en el eje de abscisas:

funciones

Las raíces son:

X1 = 3,45

X2 = -1,45

2.- Calculamos el punto de corte en el eje de ordenadas:

Si x = 0 entonces:

y = -25

funciones

La función cuadrática siempre corta al eje de ordenadas pero puede ocurrir que la función no corte el eje de abscisas.

De hecho podemos ver que a estas ecuaciones:

3x2 + 2x + 100 = 0

funciones

-5x2 + 4x – 50 = 0

funciones

No se le pueden calcular sus raíces.

 

Mínimo y máximo

Si la función tiene forma de parábola cóncava tiene un mínimo absoluto y si tiene forma de parábola convexa tiene un máximo absoluto.

Vamos a utilizar como ejemplo la función que vimos anteriormente:

y = 5x2 - 10x – 25

funciones

Podemos ver que el vértice inferior (mínimo) corresponde a un valor de la “x” situando en un punto intermedio entre las 2 raíces x1 y x2 (puntos de corte del eje de abscisas).

Luego este valor x se puede calcular como punto intermedio entre las 2 raíces:

x = (x1 + x2) / 2

Sustituyendo estas raíces por sus definiciones:

funciones

El valor de la variable x a la que le corresponde el mínimo (máximo) es:

x = -b / 2a

En la función anterior:

x = +10 / (2*5) = 1

El valor de la y correspondiente a este valor de la x:

y = 5x2 - 10x – 25

y = 5 * (1)2 – 10 * 1 – 25 = -30

Las coordenadas de este mínimo de la parábola es (1, -30)

funciones

Por otra parte podemos ver que la gráfica de esta función es simétrica respecto a un eje que pasa por este vértice.

 

Veamos otro ejemplo:

y = -2x2 + 8x + 20

El valor de la variable x a la que le corresponde el máximo (parábola convexa) se calcula:

x = -b / 2a = -8 / (2 * (-2)) = 2

El valor de la y:

y = -2x2 + 8x + 20 = -2 * (2)2 + 8 * (2) + 20 = 28

Las coordenadas de este máximo de la parábola es (2, 28)

funciones

Características de estas funciones:

1.- Dominio: el conjunto de números reales R (- ∞; ∞).

2.- Función continua en todo su dominio.

3.- Recorrido: Si la función es cóncava, el recorrido es (∞, mínimo); si la función es convexa, el recorrido es (-∞, máximo).

4.- Simétrica respecto al eje que pasa por el vértice (máximo / mínimo).

 

Funciones potenciales (tipo: y = axn)

Vamos a distinguir si el exponente es positivo o si es negativo.

1.- Funciones potenciales con exponente positivo

Ejemplos:

y=2x2

funciones

y=5x3

funciones

y=3x4

funciones

y=7x5

funciones

Vemos que la forma de estas funciones varía en función del exponente: si es par tiene forma parabólica, si es impar tiene forma de tipo espiral.

 

2.- Funciones potenciales con exponente negativo

Ejemplos:

y = -2x2

funciones

y = -5x3

funciones

La forma de estas funciones es igual que las del punto anterior pero invertidas.

En función del signo y del exponente distinguimos:

  • Término positivo y exponente par: parábola cóncava.
  • Término negativo y exponente par: parábola convexa.
  • Término positivo y exponente impar: espiral creciente.
  • Término negativo y exponente impar: espiral decreciente.

1.- Dominio: el conjunto de números reales R (- ∞; ∞)

2.- Función continua en todo su dominio.

3.- Recorrido: si el exponente es par su recorrido depende del signo del término a: si el término es positivo (∞, mínimo); si el término es negativo (-∞, máximo). Si el exponente es impar su recorrido es (-∞,∞).

4.- Si el exponente es par la función es simétrica respecto al eje de ordenadas. Si el exponente es impar la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.

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