Composiciones de funciones y operaciones algebraicas

Composición de funciones

Se llama composición de funciones al proceso por el cual a partir de 2 funciones, la variable dependiente de la 1ª función pasa a ser la variable independiente de la 2ª función.

y = 3x + 2

z = x2 / 3

La composición de estas 2 funciones:

funciones

Hemos sustituido la variable independiente en la función z por la función y.

funciones

Veamos una tabla con una muestra de valores de esta composición de funciones:

funciones

funciones

 

Puede haber composiciones de 3 o más funciones: la variable dependiente de la 1ª función pasa a ser la variable independiente de la 2ª función; y la variable dependiente de la 2ª función pasa a ser la variable independiente de la 3ª función…

 

Funciones inversas

Una función z es inversa de otra función y cuando al componer las 2 funciones se obtiene la función identidad.

funciones

Vemos que la relación de inversión se cumple en las 2 direcciones: componiendo la 2ª sobre la 1ª y componiendo la 1ª sobre la 2ª.

y = 2x

z = x / 2

La composición de estas 2 funciones:

funciones

La relación inversa se expresa:

z = y-1

y = z-1

Las gráficas de las funciones inversas son simétricas respecto al origen de coordenadas y respecto a la bisectriz del cuadrante superior-derecho e inferior-izquierdo.

funciones

Vamos a ver como a partir de una función dada (y) podemos calcular su función inversa:

Ejemplo:

y = x3 – 7

Intercambiamos las variables:

x = y3 – 7

Despejamos la variable y:

y3 = x + 7

La función inversa es:

funciones

Esta es la función inversa de la primera

funciones

Un ejemplo de funciones inversas son las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales.

Ejemplo:

Vamos a representar las funciones:

funciones

funciones

Vemos que ambas funciones son simétricas respecto al origen de coordenadas y respecto a la bisectriz del cuadrante superior-derecho e inferior-izquierdo.

Ahora vamos a calcular la composición de funciones:

funciones

Podemos ver que obtenemos la función identidad; lo mismo ocurre si componemos la segunda de la primera.

funciones

 

Operaciones con funciones

Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir.

La suma de 2 funciones: (p + q) (x) = p(x) + q(x)

La resta de 2 funciones: (p - q) (x) = p(x) - q(x)

La multiplicación de 2 funciones: (p * q) (x) = p(x) * q(x)

La división de 2 funciones: (p / q) (x) = p(x) / q(x)

Veamos un ejemplo con las funciones:

y = 3x + 5

z = 2x -3

Suma: y + z = (3x + 5) + (2x -3) = 5x + 2

Resta: y – z = (3x + 5) - (2x -3) = x + 8

Multiplicación: y * z = (3x + 5) * (2x -3) = 6x2 + x - 15

División: y / z = (3x + 5) / (2x -3)

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