Sistema de ecuaciones lineales

Llamamos sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones lineales.

La ecuación lineal tiene la forma de un polinomio de primer grado: las incógnitas no están elevadas a ningún exponente, ni van multiplicadas entre sí, ni figuran en el denominador.

Ejemplo:

3x – 4y = 5 – 3z

 

Hemos visto ya que una ecuación lineal con 2 incógnitas representa una recta en el plano.

Una ecuación lineal con 3 incógnitas representa un plano en el espacio.

Un sistema de ecuaciones lineales puede estar integrado por 2, 3, 4... ecuaciones. Veamos algunos ejemplos:

a) Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

3x + 2y = 7

X – 4y = 0

 

b) Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

2x – 3y + 4z = 5

x – y + 2z = 7

2x – 5x + 4z = 3

 

Como forma general un sistema formado por “m” ecuaciones con “n” incógnitas quedaría representado.

ecuaciones lineales1

 

Siendo las “aij los coeficientes, las “xi las incógnitas y las “bj los términos independientes.

 

Un sistema de ecuaciones lineales se puede representar en forma matricial:

ecuaciones lineales2

 

De las tres matrices anteriores, la primera se denomina matriz de coeficientes, la segunda matriz de incógnitas y la tercera matriz de términos independientes.

Vamos a representar un sistema de ecuaciones lineales de forma matricial:

2x + 3y – 2z = 5

3x – z = 4

x – 3y = 8

 

Su representación matricial sería:

ecuaciones lineales3

 

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es hallar aquellos valores de las incógnitas que son soluciones a la vez de todas las ecuaciones del sistema.

 

Los sistemas pueden ser compatibles e incompatibles:

  • Sistema compatible es aquel que tiene soluciones en el conjunto de los números reales R. Si tiene una única solución se denomina sistema compatible determinado y si tiene infinitas soluciones se denomina sistema compatible indeterminado.
  • Sistema incompatible es aquel que no tiene soluciones en el conjunto de los números reales R

 

Dos sistemas que tengan las mismas soluciones se dice que son sistemas equivalentes.

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