Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente estructura:

4x – 3y = 5

2x + 7y = 6

 

Cada ecuación representa una recta en el plano. La solución será el punto de corte de ambas rectas.

Solucionar este sistema de ecuaciones es encontrar los pares de valores de “x1” - “y1” que hacen cumplir ambas igualdades.

ecuaciones dos incógnitas 1

 

La solución de este sistema será precisamente el punto de corte de ambas rectas.

En un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas puede ocurrir:

a) Que tenga una única solución. Como en el ejemplo anterior. Se denomina “sistema compatible determinado”. Las dos ecuaciones representan a dos rectas que se cortan en un solo punto.

 

b) Que tenga infinitas soluciones. Se denomina “sistema compatible indeterminado”. Las dos ecuaciones representan a dos rectas superpuestas, una encima de otra (coinciden en todos los puntos).

ecuaciones dos incógnitas2

 

c) Que no tenga ninguna solución. Se denomina “sistema incompatible”. Las dos ecuaciones representan a dos rectas paralelas y que por tanto no tienen ningún punto en común.

ecuaciones dos incognitas3

 

Resolución de un sistema lineal de dos ecuaciones

Existen 3 métodos para resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:

  • Método de sustitución.
  • Método de igualación.
  • Método de reducción.

En todos ellos hay que operar previamente con las ecuaciones con vista a simplificarlas.

Repasamos a continuación aquellas transformaciones que se pueden hacer con ecuaciones y que nos permiten obtener ecuaciones equivalentes (ecuaciones que tienen la misma solución).

 

 

Criterios de equivalencia

Una ecuación es equivalente a otra cuando tiene la misma solución.

a) Si a ambos miembros de una ecuación se le suma un mismo valor o una misma expresión la ecuación resultante es equivalente.

Ejemplo:

Dada la ecuación: 3x -2 = 4x + 7

La ecuación 3x -2 + 5 = 4x + 7 + 5 es equivalente a la anterior

 

Ejemplo:

Dada la ecuación: 3x -2 = 4x + 7

La ecuación 3x -2 – 2x = 4x + 7 – 2x es equivalente a la anterior

 

 

b) Si ambos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo valor distinto de cero la ecuación resultante es equivalente.

Ejemplo:

Dada la ecuación: 3x -2 = 4x + 7

La ecuación (3x -2) * 3 = (4x + 7) * 3 es equivalente a la anterior

 

Ejemplo:

Dada la ecuación: 3x -2 = 4x + 7

La ecuación (3x -2) / 6 = (4x + 7) / 6 es equivalente a la anterior

 

c) Dado un sistema de ecuaciones, si a una ecuación del sistema le sumamos / restamos otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al inicial.

Ejemplo: Dado el sistema:

3x -2 = 4x + 7

2x – 5 = x

 

Sumamos a la primera ecuación la segunda:

3x -2 + 2x – 5 = 4x + 7 + x

 

El nuevo sistema es equivalente al inicial:

3x -2 + 2x – 5 = 4x + 7 + x

2x – 5 = x

 

Esta regla también se cumple si la ecuación que vamos a sumar / restar previamente hemos multiplicado / dividido sus dos miembros por un mismo número distinto de cero, ya que según vimos anteriormente hubiéramos obtenido una ecuación equivalente.

Ejemplo: dado el sistema:

3x -2 = 4x + 7

2x – 5 = x

 

Sumamos a la primera ecuación la segunda, pero previamente multiplicamos los dos miembros de esta segunda ecuación por un mismo valor:

3x -2 + (2x – 5) * 5 = 4x + 7 + (x) * 5

 

El nuevo sistema es equivalente al inicial:

3x -2 + 10x – 25 = 4x + 7 + 5x

2x – 5 = x

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