Ejercicios

En esta y en las siguientes lecciones vamos a ver cómo se resuelven los siguientes ejercicios:

trigonometria24

trigonometyría25

 

1er ejemplo

sen 3x = 0,5

Luego “3x” será igual al arcoseno de 0,5:

3x = arcsen (0,5)

3x = 0,5236

x = 0,5236 / 3

x1 = 0,1745 (expresado en radianes) / 10º 00’ 00’’ (expresado en grados)

 

Comprobamos que la solución x1 = 0,1745 cumple la igualdad de la ecuación inicial.

trigonometria26

 

Hemos visto que la función seno tiene un periodo de 2pi (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

3x = 0,5236 + 6,2832

x = 6,8068 / 3

x1 = 2,2689 (expresado en radianes) / 130º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

3x = 0,5236 + (2 * 6,2832)

 

 

2º ejemplo

tg x – cotg x = 3

 

Realizamos aquellas transformaciones que nos permitan trabajar con una sola función trigonométrica. Aplicamos la ley de trigonometría que dice:

trigonometria27

 

Resolvemos esta ecuación aplicando el sistema de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita:

trigonometría28

 

Procedemos a calcular la variable original:

1ª solución: (y1 = 3,303)

tg x = y1

tg x = 3,303

x = arctg (3,303)

x1 = 1,277 (expresado en radianes) / 73º 09’ 18’’ (expresado en grados)

 

Comprobamos si esta solución cumple la igualdad en la ecuación original:

tg x – cotg x= 3

tg 1,277 – cotg 1,277 = 3

3,303 – 0,303 = 3

3 = 3

Por lo tanto la solución calculada (x1 = 1,277) cumple la igualdad de la ecuación inicial.

 

2ª solución: (y2 = -0,303)

tg x = y2

tg x = -0,303

x = arctg (-0,303)

x2 = -0,294 (expresado en radianes) / -17º 09’ 18’’ (expresado en grados) chequear.

 

Comprobamos si esta solución cumple la igualdad en la ecuación original:

tg x – cotg x = 3

tg -0,294 – cotg -0,294 = 3

-0,303 – (-3,303) = 3

3 = 3

 

Por lo tanto la solución calculada (x2 = -0,294) cumple la igualdad de la ecuación inicial

La función tangente tiene un periodo de π (180º / 3,1416 radianes); luego también serán soluciones de la ecuación:

 

1ª solución:

x1 = 1,277 + 3,1416 = 4,418 (expresado en radianes) / 253º 09’ 18’’ (expresado en grados)

 

2ª solución:

x2 = -0,294 + 3,1416 = 2,848 (expresado en radianes) / 163º 09’ 18’’ (expresado en grados)

 

La solución se irá repitiendo cada 180º.

x1 = 1,277 + (2 * 3,1416)

x2 = -0,294 + (2 * 3,1416)

 

3er ejemplo

sen 2x = cos 180º + 0,5

sen 2x = -1 + 0,5

sen 2x = -0,5

2x = arcsen (-0,5)

2x = -0,5236

x1 = -0,5236 / 2 = -0,2618 (expresado en radianes) / -15º 00’ 00’’ (expresado en grados)

 

Comprobamos si esta solución (x1 = -0,2618) cumple la igualdad en la ecuación original:

sen 2x = cos 180º + 0,5

sen (2*(-0,2618)) = cos 180º + 0,5

sen -0,5236 = cos 180º + 0,5

-0,5 = -1 + 0,5

-0,5 = -0,5

 

Por lo tanto la solución calculada (x1 = -0,2618) cumple la igualdad de la ecuación inicial

La función seno tiene un periodo de 2π (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

2x = -0,5236 + 6,2832

x = 5,7596 / 2

x1 = 2,9798 (expresado en radianes) / 165º 00’ 00’’ (expresado en grados)

 

La solución se irá repitiendo cada 360º.

2x = -0,5236 + (2 * 6,2832)

 

 

4º ejemplo

trigonometria29

 

Comprobamos si esta solución (x1 = 0,2618) cumple la igualdad en la ecuación original:

trigonometria30

 

Por lo tanto la solución calculada (x1 = 0,2618) cumple la igualdad de la ecuación inicial, siendo por tanto solución de la ecuación inicial.

b) Analizamos la segunda solución: sen 3x = -0,7071

3x = arcsen (-0,7071)

3x = -0,78546

x1 = -0,2618 (expresado en radianes) / -15º 00’ 00’ (expresado en grados)

 

Comprobamos si esta solución (x2 = -0,2618) cumple la igualdad en la ecuación original:

trigonometría31

 

Por lo tanto la solución calculada (x2 = -0,2618) cumple la igualdad de la ecuación inicial, siendo por tanto solución de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2pi (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

 

1ª solución:

3x = 0,78546 + 6,2832

x1 = 2,3562 (expresado en radianes) / 135º 00’ 00’’ (expresado en grados)

 

2ª solución:

3x = -0,78546 + 6,2832

x2 = 1,8326 (expresado en radianes) / 105º 00’ 00’’ (expresado en grados)

 

La solución se irá repitiendo cada 180º.

3x1 = 0,78546 + (2 * 3,1416)

3x2 = -0,78546 + (2 * 3,1416)

 

 

5º ejemplo

sen 3x + sen x = 0

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

trigonometria32

 

La ecuación quedaría:

trigonometia33

 

Para que el producto sea igual a 0 alguno de los factores tiene que ser 0.

a) Igualamos el primer factor:

trigonometría34

 

Comprobamos si esta solución (x1 = 0) cumple la igualdad en la ecuación original:

sen 3x + sen x = 0

sen 0 + sen 0 = 0

0 + 0 = 0

 

Por lo tanto la solución calculada (x1 = 0) cumple la igualdad de la ecuación inicial, siendo por tanto solución de la ecuación inicial.

b) Igualamos el segundo factor:

trigonometria35

 

Comprobamos si esta solución (x2 = 1,5708) cumple la igualdad en la ecuación original:

sen 3x + sen x = 0

sen (3 * 1,5708) + sen 1,5708 = 0

sen 4,7124 + sen 1,5708 = 0

-1 + 1 = 0

0 = 0

 

Por lo tanto la solución calculada (x2 = 1,5708) cumple la igualdad de la ecuación inicial, siendo por tanto solución de la ecuación inicial.

 

La funciones seno y coseno tienen un periodo de 2pi (360º / 6,2832 radianes); luego también serán soluciones de la ecuación:

 

1ª solución:

2x = 0 + 6,2832

x1 = 3,141 (expresado en radianes) / 180º 00’ 00’’ (expresado en grados)

 

2ª solución:

x2 = 1,5708 + 6,2832

x2 = 7,8540 (expresado en radianes) / 450º 00’ 00’’ (expresado en grados)

 

La solución se irá repitiendo cada 360º.

2x1 = 0 + (2 * 6,2832)

x2 = 1,5708 + (2 * 6,2832)

 

 

6º ejemplo

trigonometria36

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

trigonometria37

 

Comprobamos si esta solución (x1 = 0,5236) cumple la igualdad en la ecuación original:

trigonometria38

 

Por lo tanto la solución calculada (x1 = 0,5236) cumple la igualdad de la ecuación inicial, siendo por tanto solución de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2pi (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

 

1ª solución:

x = 0,5236 + 6,2832

x1 = 6,8068 (expresado en radianes) / 390º 0’ 0’’ (expresado en grados)

 

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 0,5236 + (2 * 6,2832)

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