Desarrollo sobre el papel de un tronco de cono de revolución

Para hacer el desarrollo de un tronco de cono de revolución sobre una hoja de papel, tenemos primero que observar la perspectiva y las vistas principales realizadas anteriormente, para así poder decidir en cuantas partes lo vamos a descomponer, debiendo procurar que sean las menos posibles.

En este caso, vemos que serán tres partes; una será la superficie de la base mayor circular, otra la base menor circular y por último la superficie tronco-cónica. Un ejemplo para entender como hacer este objeto sería, pensar que dibujos tendremos que trazar en un papel para obtener una tarrina de helado que vamos a cerrar con una tapa redonda.

Estas tres partes serán superficies planas en el papel, que se corresponderán con un círculo para la base mayor, otro círculo para la base menor y un trapecio circular para la superficie tronco-cónica.

Desarrollo tronco de cono

Figura 15

 

A la vista de las figuras 13, 14 y 15, tendremos que tener en cuenta las siguientes fórmulas matemáticas:

1ª) La longitud de la circunferencia del círculo de la base mayor, o lo que es lo mismo, de la base del cono mayor, será :

L1 = 2 x π x R1

Sustituyendo la variable R1 del radio por el valor de 6 cuadrículas tendremos :

L1 = 2 x π x 6 = 37,7 cuadrículas

2ª) La generatriz g1 del cono mayor tendremos que calcularla y vendrá dada por la altura H1 y el radio R1 de la base del cono mayor. Aplicaremos el teorema de Pitágoras que nos dice que la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos o lo que es lo mismo, la suma de los cuadrados de los catetos elevado a 1/2. En este caso los catetos serán R1 y H1 por tanto :

g1 = R1​2 + H12

sustituyendo las variables R1 y H1 por 6 y 15 cuadrículas respectivamente tendremos:

g1 = 6​2 + 152 = 16,16 cuadrículas

3ª) La longitud L del arco de un sector de círculo, o lo que en este caso es lo mismo, la longitud del arco mayor del trapecio circular será :

L = α x g1

Tenemos que deducir el ángulo α que comprende al arco del sector de círculo. Es fácil de calcular ya que L tiene que ser igual a L1, por tanto:

L = α x g1

L1 = 2 x π x R1

L = L1

sustituyendo e igualando tendremos:

2 x π x R1 = α x g1

Despejando α:

α = 2 x π x R1 / g1 = 2 x π x 6 / 16,16 = 2,33 radianes

este resultado nos viene dado en radianes pero, para trazarlo en el papel con un transportador de ángulos, nos interesa tenerlo en grados sexagesimales para lo cual, lo tenemos que multiplicar por 180 y dividir por π, ya que π radianes son 180º sexagesimales. Por tanto :

α = 2,33 x 180 / π = 133,75º

Una vez tengamos desarrollado el sector de circulo correspondiente con el cono mayor restaremos el sector de circulo correspondiente con el cono menor cuya generatriz vendrá dada por la altura H2 y el radio R2. Aplicaremos el teorema de Pitágoras que nos dice que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, o lo que es lo mismo, la suma de los cuadrados de los catetos elevado a 1/2. En este caso los catetos serán R2 y H2 por tanto :

g2 =  R2​2 + H22

sustituyendo las variables R2 y H2 por 3 y 7,5 cuadrículas respectivamente tendremos:

g2 = 3​2 + 7,52 = 8,08 cuadrículas

el ángulo α que comprende al arco del sector de círculo del cono menor es el mismo que para el cono mayor, ya que en realidad, las superficies cónicas de ambos conos se solapan.

Con estos datos calculados ya podremos desarrollar sobre el papel una figura con forma de trapecio circular con un ángulo comprendido α = 133,75º, dos lados rectos convergentes de longitud g = g1-g2 = 16,16 – 8,08 = 8,08 cuadrículas, un arco de radio 16,16 cuadrículas para la base mayor y otro de radio 8,08 cuadrículas para la base menor. Completaremos el desarrollo con las dos partes que faltan, que serán dos círculos de radios 6 y 3 cuadrículas para las bases mayor y menor del tronco de cono y que podemos ver en verdadera magnitud en las vistas C y D.

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