Deducción de las fórmulas para resolver problemas de lentes

En la figura que tienes a continuación:

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Los triángulos con fondo marrón vemos que son rectángulos. Si son semejantes, sus lados son proporcionales, es decir:

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Las distancias AB y A’B’ representan al objeto y a su imagen.

Las distancias OB y OB’ representan a s y s’, respectivamente.

Por lo tanto, la proporción anterior podemos escribirla también:

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Analizando la figura siguiente ves que partimos con la misma figura anterior pero señalamos con una circunferencia el lugar donde vamos a realizar unos cálculos. A la derecha ampliamos la figura y fíjate que hemos señalado dos triángulos rectángulos con fondo azul:

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Los lados de estos triángulos son proporcionales por ser ambos rectángulos lo que quiere decir que:

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Si nos servimos de f’ distancia focal y s’ distancia de la imagen a la lente la proporción anterior podríamos haberla escrito:

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Anteriormente dedujimos: optica y formamos la proporción:

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En el primer miembro de la igualdad, divido a cada término por su denominador, hago operaciones y simplifico:

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Ahora divido a cada término de la igualdad por s’, haciendo operaciones y transposición de términos llegamos a:

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Haciendo transposición de términos obtengo: optica

El valor de s que es la distancia del objeto a la lente se halla en “terreno” negativo porque corresponde, en un eje de coordenadas, al valor de la abscisa a la izquierda del 0 o centro óptico de la lente:

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Debes poner mucho cuidado con los signos que debes asignar a cada dato cuando resuelves un problema.

Aplicamos en primer lugar a lentes convergentes:

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Vemos que la distancia focal f es positiva. La distancia s del objeto a la lente es negativa (izquierda del cero) y s’ la distancia de la lente a la imagen es positiva (derecha de cero).

5.48 Un objeto de 5cm de altura lo colocamos a 50cm sobre el eje de una lente convergente cuya distancia focal es de 20cm.

Presenta gráficamente su imagen y calcula su distancia al centro óptico.

Respuesta: 33,33cm

Lo dibujamos situando medidas con sus signos:

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Aplicamos la fórmula sin tener en cuenta si nos referimos a lentes convergentes o divergentes y pondremos mucha atención en el momento de introducir los datos:

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La última fracción del segundo término de la última igualdad puedo expresarla:

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Haciendo operaciones y despejando a s’ llegamos a:

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5.49 A 15cm delante de una lente convergente que tiene una distancia focal de 6cm colocamos un objeto. ¿A qué distancia de la lente se sitúa su imagen?

Respuesta: 10cm

Al ser igual al anterior omitimos figura y aplicamos directamente la ecuación fundamental de las lentes:

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Hacemos operaciones y despejamos s’:

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Aplicamos ahora a lentes divergentes:

Lo único que difiere a lo que acabas de estudiar es que el valor de es que en las lentes divergentes la distancia focal es negativa:

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En una lente divergente la distancia focal se halla a la izquierda del centro óptico, por eso es negativa.

5.50 Colocamos un objeto de 9cm de altura a 20cm de distancia del centro óptico de una lente divergente y de 15cm de distancia focal. Calcula la distancia a la que se halla la imagen respecto al centro óptico de la lente y el tamaño de la misma.

Respuestas: -8,57cm y 3,856cm respectivamente.

A la figura le incorporamos los datos:

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Calculamos el valor de s’.

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Para el tamaño recordamos lo estudiado con espejos esféricos:

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Sustituyendo valores y haciendo operaciones:

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5.51 Calcula el tamaño y la distancia a la que aparece la imagen de un objeto de 10cm de altura situado a 60cm de una lente convergente cuya distancia focal es 20cm.

Respuestas: -5cm y 30cm respectivamente.

Solución

Lo hemos resuelto con otros datos por lo que se te facilitan resultados y figura:

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El signo (–) del tamaño de la imagen nos indica inversión (ordenada negativa).

5.52 ¿Cuánto vale la distancia focal de una lente convergente si sabemos que colocando un objeto a 80cm de ella, su imagen aparece a 40cm?

Respuesta: 26,67cm

Solución

Tomamos la misma fórmula:

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