Momento de inercia para un sistema continuo de partículas
Hasta ahora hemos considerado dos o tres partículas sin tener en cuenta las varillas o alambres a las que estaban sujetas.
Sabemos que una varilla o cualquier cuerpo de cualquier material están compuestos por infinitas partículas.
La suma de todas las partículas ofrecen una resistencia cuando pretendemos variar su estado, es decir, su Inercia.
Nos encontramos con dos situaciones.
La primera, considerar a las partículas en un número limitado o discreto tal como lo hemos hecho hasta ahora cuya fórmula es:
La segunda, tener en cuenta todas las partículas que componen el objeto, por ejemplo, un alambre o una varilla, una esfera, etc.
Este caso lo conocemos con el nombre de momento de Inercia para un SISTEMA CONTINUO DE PARTÍCULAS con respecto a un punto concreto.
En la figura tienes dos cilindros que quieren semejar a dos trozos de una varilla de madera.
Ahora hemos de tener en cuenta todas sus partículas en el momento de rotación respecto al lugar donde esté situado su eje de rotación.
Los ejes (verticales) de rotación de la figura los tenemos situados en puntos diferentes: el primero en su centro de gravedad C y el segundo, en un punto O cercano a un extremo de la varilla.
Esto significa que sus momentos de Inercia serán distintos.
Para resolver estos problemas tenemos que tener presente que lo que hacemos con una partícula lo hemos de hacer con todas y esto requiere una sumar infinitos sumandos, lo que significa que hemos de utilizar integrales.
Vamos a tratar de explicar todos los pasos que hemos de dar para llegar a comprender bien.
Lo más simple es partir de una varilla, pero una varilla puede ser de acero, de latón, de madera, etc.
La densidad de un cuerpo sabemos que vale: 
(Densidad igual a Masa dividida por el Volumen).
Es costumbre representar a la densidad con la letra griega ρ (se pronuncia “ro”).
Podemos decir que 
(masa igual a densidad por volumen).
A continuación nos fijamos en la siguiente figura:
Se trata de la varilla de madera en la que tomamos una partícula o una unidad de masa que la hemos representado con un pequeño cilindro cuya altura vale dm.
¿Qué significado tiene dm?
Sencillamente, se trata del diferencial de la masa.
No olvides que estamos tratando de partículas y una partícula tendrá una masa muy pequeña, es decir, que tiende a cero.
Hemos de recordar lo estudiado en Matemáticas referente al Cálculo Infinitesimal cuando decíamos que una derivada es igual al cociente del incremento de la función (y) dividida por el incremento de la variable (x) cuando ésta (Δx) tiende a cero.
A una partícula de la barra de madera podemos considerarla como un cilindro:
cuya altura es dm siendo A el área de su base.
Esto significa que su volumen es: 
(volumen de un cilindro igual a área de la base por la altura).
Situando a la partícula anterior en un eje de coordenadas tendríamos:
Su masa peso valdrá: 
o bien, 
(masa-peso igual a volumen por densidad).
Si queremos sumar todas las masas de todas las partículas de la varilla hemos de hacer uso de integrales y para ello tomamos la última fórmula obtenida:
Esta fórmula nos calcula la Inercia que presenta una o varias partículas pero nos interesa la Inercia de todas las que componen la varilla.
Para conseguir este objetivo situamos la varilla en un eje de coordenadas:
El número de cilindros, color amarillo, tiende a un valor infinito cuando el valor de dm tiende a cero pero la suma de todas las masas nos dará el valor de la Inercia de la varilla con respecto al eje vertical que pasa por el centro de masa, en este caso y nos vendrá dado por:
(Por costumbre colocamos el diferencial de m como segundo factor).
Pero esta fórmula no es muy correcta porque:
1º) ¿Respecto a qué punto rota? No es lo mismo que rote alrededor del eje que pasa por su centro de gravedad que el eje de rotación esté situado en un extremo de la varilla.
2º) ¿Quién es r?
3º) ¿Quién es m? Porque la mayoría de los problemas nos vienen representados, generalmente con funciones en x, e y.
Es normal que una función nos venga representada con valores de x y no de m, es decir, que la altura del cilindro sea dx (diferencial de x).
Esto no representa ninguna dificultad.
Observa la figura siguiente en la que tenemos una varilla de longitud l:
(II)
No hay ninguna dificultad en considerar a la varilla en un eje de coordenadas con centro en el origen O.
La distancia desde el centro hasta la primera partícula decimos que vale x (en lugar de r) y el incremento de x, altura del cilindro dx (en lugar de dm).
La rotación se efectúa alrededor del eje vertical que pasa por el centro de masas (en la figura hemos señalado el sentido antihorario).
Otro detalle a tener en cuenta cuando utilicemos la integral en el momento de definirla es que la varilla, la mitad de su longitud se halla a la derecha del origen de coordenadas (positiva) y la otra mitad en el lado negativo.
Tras todas estas consideraciones retomamos la fórmula que la dejamos en (I):
Podemos sustituir r por x, según indicamos anteriormente:
Sabemos que 
(masa-peso es igual a densidad por volumen).
El diferencial de la masa que la tenemos en la fórmula la escribimos: 
Pero la densidad es una constante y en este caso la sacamos de la integral:
La diferencial dv escribimos sirviéndonos del área de la base por la altura y de lo expuesto en el apartado
Pero en esta fórmula el área es una constante también (se trata del círculo que se mantiene con igual radio a lo largo de la varilla).
Por ser una constante la sacamos del signo integral y nos queda:
Esta igualdad no es correcta porque tenemos que considerar la longitud total de la varilla que se encuentra en el intervalo
por lo que escribiremos: 
Para que esta igualdad sea correcta nos falta indicar el valor de la Inercia respecto al punto por donde pasa el eje que en este caso nos hemos referido al centro de masa (cm):
Resolvemos esta integral definida que haciendo operaciones paso a paso obtenemos:
Un poco más adelante modificaremos este resultado que acabamos de obtener.
2.165 Calcula la fórmula del momento de Inercia de una varilla cuyo eje de rotación pasa por un extremo de la misma basándote a lo que acabas de estudiar.
Respuesta: Solución
Lo único que varía es que el intervalo lo podemos considerar entre 
al situarla tal como tenemos en la figura siguiente:
En la fórmula 
modificamos el intervalo y hacemos operaciones:
