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miércoles, 15 agosto 2018 español
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¿Cómo Funciona AulaFácil?

Equivalencias entre ambas asociaciones

Relacionar estas dos asociaciones es importante en muchos casos.

Procura entender bien y verás que no es difícil.

Para que las asociaciones sean equivalentes nos deben dar resultados iguales.

Podemos encontrarnos con una asociación de Resistencias en estrella pero puede convenirnos transformarla en triángulo o viceversa.

Supongamos que tenemos una asociación en triángulo cuyas Resistencias conocemos Ra, Rb y Rc y necesitamos calcular las Resistencias R1, R2 y R3 (en estrella).

 

A una asociación en triángulo le corresponde su equivalente en estrella y para relacionarlas vamos a efectuar los pasos siguientes:

 

1.- Dibujamos ambas asociaciones por separado:

corriente continua

 

2.- Ponemos nombres a los vértices del triángulo:

corriente continua

 

3.- Ponemos nombres a las Resistencias de esta asociación con relación al nombre del vértice opuesto:

corriente continua

 

4.- Ponemos nombre a las Resistencias en estrella:

corriente continua

 

5.- Superpongo las dos asociaciones de modo que el vértice A es el final de la R1, el vértice B conecta con la Resistencia R2 y R3 con el vértice C:

corriente continua

 

6.- Para que estos dos circuitos sean equivalentes es necesario que la Resistencia resultante entre los vértices A y B tengan el mismo valor en ambas asociaciones.

Lo mismo cabe decir para las Resistencias resultantes entre los vértices B y C y entre C y A.

 

7.- Establecemos conexión desde una fuente tomando como puntos receptores de la corriente únicamente los finales de las Resistencias R1 y R2

En este caso, no tenemos en cuenta la asociación en triángulo.

corriente continua

La Resistencia R3 está fuera de conexión.

 

8- Vemos que R1 y R2 están en serie y ambas en paralelo con Rc:

corriente continua

 

9.- El valor de la Resultante de las Resistencias que proceden de la asociación en estrella la representamos con RAB por estar en serie es: RAB = R1 + R2.

 

10.- Analicemos lo que sucede con la asociación en triángulo. No tenemos en cuenta la asociación en estrella. Seguimos con los puntos A y B conectados a la fuente:

corriente continua

 

Ra y Rb están en serie y en paralelo con Rc:

corriente continua

 

11.- Llamando RAB a la resultante tenemos:

corriente continua

corriente continua

 

12.- Observa que hemos obtenido, por un lado, RAB = R1 + R2 y por otro, corriente continua y hemos dicho que para que haya equivalencia estas Resistencias resultantes han de tener el mismo valor, es decir:

corriente continua

 

13.- Repetimos este análisis, ahora con lo que sucede entre los vértices B y C y en el que lo único que varían son los nombres de los elementos.

 

Primero analizamos lo que se refiere a la parte de la asociación en estrella.

 

A la Resistencia resultante entre los vértices B y C la llamamos RBC.

 

Las Resistencias R2 y R3 están en serie por lo que:

RBC = R2 + R3

corriente continua

 

14.- Analizamos lo que sucede con la formación en triángulo:

corriente continua

 

Rc y Rb se hallan en serie y su resultante en paralelo con Ra.

La resultante de este sistema que lo representa RBC será:

corriente continua

 

Anteriormente calculamos que RBC = R2 + R3, por lo que:

corriente continua

 

15.- Siguiendo este mismo proceso y tomando los puntos A y C como receptor y salida de corriente vemos en la figura siguiente que en la asociación en estrella las Resistencias R1 y R3 están en serie y llamando RAC a la resultante tendremos:

RAC = R1 + R3

corriente continua

 

En la asociación en triángulo las que se hallan en serie son Ra y Rc y ésta resultante en paralelo con Rb.

La resultante de la asociación en triángulo es:

corriente continua

 

Como RAC también es igual a R1 + R3 podemos escribir:

corriente continua

 

16.- A partir de este momento hay tres ecuaciones con 3 incógnitas R1, R2 y R3 que las hemos colocado en recuadros rojos:

corriente continua

corriente continua

 

Tenemos el sistema de ecuaciones:

corriente continua

 

Seguramente aparenta lo que no es. No es nada complicada la resolución si te fijas un poco, tomas las dos primeras ecuaciones cambiando de signo a la segunda:

corriente continua

 

Quitamos paréntesis:

corriente continua

 

Como tienen los mismos denominadores sumamos los numeradores teniendo cuidado con el cambio del signo cuando éste está delante de un paréntesis y es negativo. Reduciendo términos semejantes obtenemos:

corriente continua

 

Ahora podemos sumar esta ecuación con la 3ª:

corriente continua

 

Quitamos paréntesis y al tener iguales los denominadores los podemos sumar reduciendo los términos semejantes:

corriente continua

 

simplificando por 2 en ambos lados de la igualdad: corriente continua

 

Ahora calculamos R2 haciendo operaciones paso a paso tienes:

corriente continua

 

Hemos hecho la sustitución de R1 por el valor que hemos hallado.

Realizamos operaciones a partir de esta última igualdad llegamos a:

corriente continua

 

Restamos y reducimos términos semejantes:

corriente continua

 

Los cálculos para conocer el valor R3 los tienes a continuación. Partimos de:

corriente continua2

 

Sustituimos el valor de R1:

corriente continua3

 

Hacemos operaciones:

corriente continua 4

 

Los valores de las Resistencias en la asociación en estrella a partir de las asociadas en triángulo son:

corriente continua 5

 

Ahora vamos a hacer la transformación contraria, es decir, conocemos los valores de las Resistencias en estrella y calculamos sus equivalentes en la asociación en Delta o triángulo.

corriente continua6

 

El sistema de ecuaciones que se nos presenta es:

corriente continua7

 

Cuando un sistema ves que no te convence utilizar cualquiera de los tres métodos tradicionales como en el sistema:

corrinte continua8

 

lo más sencillo es multiplicar todos los términos de cada lado del signo igual y obtienes corrietne continua9.

 

Ahora divides este resultado por una de las ecuaciones, tomamos la 1ª: 

corriente continua10

 

Hacemos lo mismo con la 2ª ecuación:

corriente continua11

 

Dividimos ambas ecuaciones y hacemos simplificaciones:

corriente continua12

 

Despejamos conrriente continua13

 

Este valor lo sustituimos en la 3ª ecuación y obtenemos:

corriente continua14

 

Conocido el valor de una incógnita las demás se calculan fácilmente:

corriente continua15

 

Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones.

¿Cómo resolvemos el sistema: 

Corriente continua 16?

 

Recuerda que a la izquierda del igual se hallan los valores desconocidos y a la derecha los que conocemos.

Multiplicamos la 1ª ecuación por la 2ª:

corriente continua 17

 

Ahora multiplicamos la 2ª por la 3ª:

corriente continua18

 

Y por fin, multiplicamos la 1ª por 3ª ecuación:

correitne continua19

 

Observa que todos los denominadores son iguales.

Sumamos las expresiones situadas a uno y otro lado del signo igual:

corriente continua20

 

Al ser el mismo denominador en cada fracción sumamos los numeradores permaneciendo el denominador común:

corriente continua21

 

En el numerador del primer miembro de la igualdad podemos sacar factor común corriente octinua22 y la ecuación nos queda:

corriente continua23

 

Dividimos esta ecuación por la 1ª:

corriente continua24

 

Simplificamos el primer miembro:

corriente continua25

 

Nos ha quedado:

corriente continua26

 

Calculamos el valor de RB y para ello dividimos la expresión (I) por la 2ª ecuación y realizando los mismos pasos para el cálculo de RA llegamos a:

corriente continua27

 

Realizamos los mismos pasos para el cálculo de Rc:

corriente continua28

 

Es cierto que te puede resultar largo el proceso pero resulta fácil y hasta divertido (en cálculos un poco largos nunca tengas prisas).

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