Comportamiento de la amplitud del ángulo en cuanto a la duración del tiempo del móvil en el espacio

La respuesta es simple siempre que dispongas de unas Tablas Trigonométricas.

 

Para facilitarte el trabajo tienes a continuación los valores de los senos desde 1º hasta 90º:

 

GRADOS

SENO

GRADOS

SENO

GRADOS

SENO

1

0,01745241

31

0,51503807

61

0,87461971

2

0,0348995

32

0,52991926

62

0,88294759

3

0,05233596

33

0,54463904

63

0,89100652

4

0,06975647

34

0,5591929

64

0,89879405

5

0,08715574

35

0,57357644

65

0,90630779

6

0,10452846

36

0,58778525

66

0,91354546

7

0,12186934

37

0,60181502

67

0,92050485

8

0,1391731

38

0,61566148

68

0,92718385

9

0,15643447

39

0,62932039

69

0,93358043

10

0,17364818

40

0,64278761

70

0,93969262

11

0,190809

41

0,65605903

71

0,94551858

12

0,20791169

42

0,66913061

72

0,95105652

13

0,22495105

43

0,68199836

73

0,95630476

14

0,2419219

44

0,69465837

74

0,9612617

15

0,25881905

45

0,70710678

75

0,96592583

16

0,27563736

46

0,7193398

76

0,97029573

17

0,2923717

47

0,7313537

77

0,97437006

18

0,30901699

48

0,74314483

78

0,9781476

19

0,32556815

49

0,75470958

79

0,98162718

20

0,34202014

50

0,76604444

80

0,98480775

21

0,35836795

51

0,77714596

81

0,98768834

22

0,37460659

52

0,78801075

82

0,99026807

23

0,39073113

53

0,79863551

83

0,99254615

24

0,40673664

54

0,80901699

84

0,9945219

25

0,42261826

55

0,81915204

85

0,9961947

26

0,43837115

56

0,82903757

86

0,99756405

27

0,4539905

57

0,83867057

87

0,99862953

28

0,46947156

58

0,8480481

88

0,99939083

29

0,48480962

59

0,8571673

89

0,9998477

30

0,5

60

0,8660254

90

1

 

 

Te es fácil comprobar que a medida que el ángulo crece, el valor de su seno también lo hace, por lo que el tiempo, por depender directamente de este factor también se hará mayor.

 

No obstante, esto tiene un límite para que la trayectoria sea parabólica. El movimiento sería vertical con 90º.

 

B) Distancia horizontal recorrida por el móvil o alcance

Al tratarse de la distancia horizontal nos referimos al eje de abscisas x cuya medida nos vendrá dada según el valor del tiempo que dura el movimiento, es decir: cinematica680 

 

Sabemos que cinematica681   y que el valor de t ya lo tenemos calculado anteriormente: cinematica682    pues bien, este valor lo sustituimos en (I) y hacemos operaciones:

 

cinematica683

 

Sabemos por Trigonometría que:

cinematica684

 

Si los ángulos son iguales ( a = b) tenemos:

cinematica685

 

Sustituyendo en: 

cinematica686

 

Tenemos:

cinematica687

 

1.124 Supongamos que Astérix, tras un buen trago de poción mágica, se enfrenta al soldado romano de turno y tras un bofetón,

 cinematica688

 

éste sale disparado a una velocidad de 900 m/s con un ángulo de 80º. ¿A qué distancia le ha enviado?

Respuesta: 28269 m

 

Solución.

No tienes más que aplicar la fórmula y hacer las operaciones en ella indicada:

 

cinematica689

 

Recuerda que los senos de 160º y 20º son iguales: 160º+20º =180º.

 

cinematica690

 

Observación: Parece ser que el señor Panoramix ha tenido alguna pequeña confusión en el cálculo de las proporciones.

 

C) Altura máxima alcanzada en su trayectoria.

Recuerda que estamos estudiando el caso en el que el movimiento parabólico se efectúa a partir de y = 0.

 

La altura máxima se alcanza en el momento en que la velocidad cinematica691 , es decir, cuando g vale 0, tal como quedó reflejada en una gráfica anterior.

 

Para deducir la fórmula que nos va a permitir calcular la altura máxima alcanzada por un móvil en su movimiento parabólico completo nos remontamos a  cinematica692  (velocidad final es igual a la inicial más la aceleración por el tiempo).

 

En nuestro caso actual: 

 

Como Vy vale 0, nos queda: cinematica693

Vemos que cinematica694

Despejamos cinematica695

Sabemos que cinematica696 y lo sustituimos en la igualdad anterior:

cinematica697
 

Sirviéndonos de  cinematica698  y adecuando a lo que estamos estudiando en este momento podemos escribir llamando: cinematica699  a la altura máxima cinematica700.

 

Conocemos el valor del  cineamtica701  que lo sustituimos en la igualdad anterior: 

 cinematica702

 

 

Sustituimos cinematica703  por su valor cinematica704   elevamos al cuadrado y simplificamos y haciendo paso a paso lo indicado llegamos a:

 

cinematica705

 

Ya sabemos que la altura máxima que alcanza una trayectoria de un movimiento parabólico completo es:

cinematica706

 

1.125 ¿Te acuerdas que el señor Pedro Picapiedra sacudía a la pelota de golf a 200 m/s con un ángulo de 30º?

Calcula el punto más alto de la trayectoria.

 

Respuesta: 510,20 m

 

Aplicamos la fórmula: 

cinematica707

 

 

 
 

PRÁCTICA: TRAYECTORIA PARABÓLICA INCOMPLETA

Cuando el móvil comienza su movimiento parabólico a una altura distinta de 0 es importante que al factor tiempo lo tengas muy en cuenta.

En el caso de:

 

A) Tiempo en el que el móvil permanece en movimiento

Debes tener en cuenta de que el movimiento comienza a una determinada altura por lo que y tendrá un determinado valor:

cinematica7087

 

Como el movimiento componente en la dirección vertical y es uniformemente acelerado nos serviremos para su cálculo de la fórmula:

cinematica709 

 

Pero hemos de tener en cuenta de que ahora tenemos un valor inicial de y.

Ahora no partimos del suelo sino de una altura que la representamos por cinematica710  y lo reflejamos modificando la fórmula anterior:

cinematica711

 

De esta fórmula nos serviremos para calcular t, quizá el dato que tendremos que utilizar en la resolución de muchos problemas.

 

1.126 Bartolomé (Bart) Simpson como casi siempre tiene y ejecuta ideas limítrofes con la inocencia, la bondad infinita y otras beatíficas e ingenuas intenciones y acciones.

 

Esta vez, para una mayor diversión de sus amigos sacude el balón hacia fuera de la isla.

 

Lo que nos importa es que el balón sale desde una altura de 80 metros con una velocidad de 12 m/s y el ángulo de inclinación es de 45º.

 

Esto sucede un día de calma chicha (no hay viento) ¿cuánto tiempo tardará el balón en mojarse?

 

cinematica712

 

Respuesta: 4,93 s

 

Solución.

Conocemos el valor de Vo y calculamos el valor de su componente vertical cinematica703.

 

Aplicamos la fórmula, sustituimos y hacemos operaciones:

cinematica713

 

Cuando el balón, “de modo fortuito” llega al agua, el valor de la ordenada y vale 0, pero partió de una altura de 80 m.

 

No tienes más que aplicar la fórmula anterior:

cinematica714

 

 

teniendo en cuenta que el balón salió desde 80 m de altura por lo que añadiremos este valor a la fórmula anterior quedándonos la siguiente ecuación de 2º grado: 

cinematica715

 

Resolviéndola obtenemos:

cinematica716

 

 

Tenemos solamente en cuenta el signo positivo, no hay tiempos negativos.

 

B) Distancia horizontal recorrida por el móvil o alcance

Ahora nos interesa calcular el valor que toma el eje de abscisas que es tan simple como: “espacio es igual a velocidad por el tiempo”. No olvides que se trata de una velocidad constante.

 

Tenemos que cinematica717

Calculamos con anterioridad cinematica718

Lo sustituimos en la igualdad anterior cinematica719 y obtenemos el valor que buscábamos.

 

cinemati720ca

 

distancia de la base de esta pared vertical toma “contacto” con el suelo?

 

Respuesta: 412,85 m

 

Solución.

Para aplicar la fórmula que acabamos de deducir: cinematica721

necesitamos saber el valor de t.

Para ello recurrimos a cinematica722

 

Hallamos el valor de cinematica703:

cinematica723
 

Aplicamos este valor en:

cinematica724

 

Nos queda la ecuación de 2º grado:

cinematica725

 

Resolviéndola:

cinematica726

 

Ahora que conocemos el valor de t lo aplicamos en y contestamos a lo que nos han pedido:

cinematica727

 

Nota: El valor del coseno lo he obtenido de la tabla de los senos porque al ser complementarios los ángulos, el seno de 30º vale lo mismo que el coseno de 60º (30º+60º=90º), lo mismo que el seno de 70º vale lo mismo que el coseno de 20º (70º+20º=90º). En la siguiente figura, dentro del primer cuadrante compruebas gráficamente lo que acabas de leer: sen 20º = cos 70º:

 

cinematica728

 

C) Altura máxima alcanzada en su trayectoria.

El punto de máxima altura que un móvil alcanza en su trayectoria parabólica es donde su velocidad de dirección vertical es  cinematica691 .

 

No importa que la trayectoria parabólica sea completa o no.

Su fórmula sabemos que es: cinematica729

 

De esta fórmula despejas t para después sustituirla en la fórmula de la altura máxima estudiada en este mismo apartado C) al referirnos al movimiento parabólico completo.

 

En este caso debes tener en cuenta que hay un punto de partida a una altura Yo y a la fórmula de la altura máxima alcanzada hemos de tenerla en cuenta por lo que la fórmula se nos convierte en:

cinematica730

 

No tenemos más que sustituir el valor de t.

 

1.128 Recordarás que el señor Picapiedra lanzaba la pelota de golf a 200 m/s con ángulo de 30º.

cinematica731

 

Ahora, el golpe lo da a 100 m del suelo.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota en su trayectoria parabólica?

 

Respuesta: 610,2 m

 

Solución.

Sabemos que D. Pedro sacude a la pelota con una velocidad inicial de 200 m/s, es decir, que el vector velocidad inicial cinematica732   equivale a la resultante de cinematica733  y  cinematica734 y de éstas necesito conocer su magnitud o módulo.

 

Sabemos que cinematica735

 

Cuando la pelota de golf llega al punto más alto, la velocidad ascendente es cero cinematica736

 
Lo que significa que 
cinematica737   y sustituyo los valores que conozco: cinematica738.

 

Ahora recurro, una vez más, a la fórmula:

cinematica739

 

Sustituyendo valores conocidos:

cinematica740

 
 

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