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sábado, 18 agosto 2018 español
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Aplicación de integrales en el movimiento rectilíneo

Sabemos que la operación contraria a la derivación es la integración lo que nos permite calcular la posición de un móvil a partir de la expresión de su aceleración en un momento dado.

 

Es algo parecido a la “marcha atrás” en el caso de que la “marcha adelante” fuera producida por las derivadas.

 

Partimos de cinematica326  y queremos obtener la que se deriva de ésta cuando cinematica254

 

Simplemente hallamos su derivada tal como lo hemos hecho en el último ejercicio: cinematica237.

 
¿Podemos hacer lo contrario, es decir, nos dan la que se ha derivado o emanado o resultado y nos piden que hallemos la anterior, la primitiva?

 

La anterior, la primera, la primitiva de  cinematica328 , es como decir, la expresión de donde procede ésta la obtenemos por medio de la integración (no olvides de que v está en función de t):

 

Sabemos que:

 cinematica329

 

Haciendo operaciones….cinematica330

Como cinematica331  sustituimos en la igualdad anterior quedándonos: cinematica332

 

Integramos ambos miembros de la igualdad:

Al integrar el primer miembro de la igualdad nos encontramos con la derivada de e, al ser operaciones contrarias la derivación y la integración, se “simplifican” o si quieres se “anulan”. Sería como si a 3 le multiplicaras y dividieras por 5, por tanto, nos queda:

cinematica333

 

Esta igualdad la podemos escribir:

cinematica334

 

Sacamos fuera del signo integral a las constantes:

cinematica335

 

Hallando las integrales obtenemos:

cinematica336

 

Esta sería una solución general.

C puede tener cualquier valor que pertenezca a porque a la hora de derivar su valor equivale a cero por tratarse de una constante.

 

Para saber el valor concreto de C, en el enunciado nos deben proporcionar algún dato que nos permita su cálculo.

 

En nuestro caso concreto podrían habernos dicho que su representación gráfica pasa por el punto (1,6):

cinematica337

 

Tienes en azul la representación gráfica de la función de:

cinematica338

 

1.79 Anteriormente dedujimos que cinematica339   Después de lo estudiado hasta aquí ¿podrías demostrar, partiendo de la aceleración y utilizando integrales llegar a esta expresión, paso a paso?

Respuesta: La respuesta incluye la explicación siguiente:

Partimos de que cinematica340


Despejamos cinematica341

 

La aceleración es una constante (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado).

 

Hallamos integrales en ambos miembros de la última igualdad:

cinematica342

 

En el primer miembro de la última igualdad la integral con la derivada de la velocidad simplificamos.

 

Del segundo miembro sacamos fuera de la integral a la constante, en este caso, la aceleración:

cinematica343

 

Resolvemos la integral quedándonos:

cinematica344

 

Supongamos que en el momento 0 cuando el móvil comienza su movimiento lleva una velocidad v0, es decir, v= vo (en el momento t0 ) sustituimos estos valores en v= at + C y obtenemos:

cinematica345

 

Comprobamos que  C= vo

Sustituimos el valor de C en (I) obteniendo: v= vo + at (II)

Sabemos que cinematica346  y de esta expresión despejamos la derivada de e:

cinematica347

 

Hallamos integrales en ambos miembros de la última igualdad:

cinemaitca348

 

La integral con la derivada del espacio se anulan y en el segundo miembro sustituimos el valor de v por su valor hallado en (II):

cinematica349

 

Quitamos paréntesis dentro del integrando:

cinematica350

 

A los factores que no dependen de t al considerarles constantes los sacamos del integrando:

cinematica351

 

Integramos la última igualdad:

cinematica352

 

Para hallar el valor de C debemos tener en cuenta que al comienzo del movimiento el tiempo transcurrido es 0 y eo el espacio recorrido por lo que:

cinematica353  

 

Se nos convierte en: 

cinematica354

Por lo que al final nos queda ordenando:

cinematica355

Donde eo en la fórmula final indica la posición que ocupaba el móvil antes de comenzar el movimiento.

 

Este dato no se tiene en cuenta mientras no se indique en el enunciado.

 
 

 
 

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