Función cuadrática

La forma funcional de cada modelo econométrico depende en alguna parte por su forma gráfica, es decir que al reflejar en un esquema bidimensional se puede apreciar la forma y hacerse una idea de la ecuación que se ajusta de mejor manera al modelo que se busca.

 

Para el caso tomaremos un ejemplo hipotético en el que se toma el esquema de una función de costos totales, donde se sabe que hasta cierto punto en el que la producción aumenta los costos caen dado un nivel de tecnología llegando a un mínimo y a partir de ahí existe un incremento progresivo por cada unidad adicional por tanto se espera una forma parabólica.

 

La siguiente tabla muestra el valor del costo total  Y que se obtiene con un nivel de producción específico X.

 


x

200

240

300

400

500

540

600

640

700

800

900

1000

1040

1100

1200

y

3910

3680

2990

2070

2070

1380

1610

1380

1725

1495

2070

1840

2530

2990

4025

 

Podemos observar claramente que la tendencia no se ajusta a una recta, esta se plantea como una curva en forma de u, siendo una parábola la ecuación que más se ajusta es cuadrática.

En este caso estamos tratando con una ecuación de la forma

 

econometria

 

lo que indica que tiene un valor máximo o en su defecto un mínimo.

 

DESARROLLO

Para el caso de la función cuadrática es necesario aclara que es un caso espacial que se ve en muchos ejemplos económicos, su aplicación es útil para determinar máximos y mínimos.

El procedimiento es el mismo que en el anterior se encuentra

 

econometria

 

mínimo, se deriva respecto a los coeficientes a, b y c y luego se igualan a cero, para posteriormente simultanearlas, las ecuaciones quedan entonces:

 

econometria

CÁLCULO

El siguiente paso a realizar consiste en obtener los productos y sumatorias indicadas en las tres ecuaciones

 

X

Y

XY

X2Y

X2

X3

X4

 

200

3,910

782,000

156,400,000

40,000

8,000,000

1,600,000,000

 

240

3,680

883,200

211,968,000

57,600

13,824,000

3,317,760,000

 

300

2,990

897,000

269,100,000

90,000

27,000,000

8,100,000,000

 

400

2,070

828,000

331,200,000

160,000

64,000,000

25,600,000,000

 

500

2,070

1,035,000

517,500,000

250,000

125,000,000

62,500,000,000

 

540

1,380

745,200

402,408,000

291,600

157,464,000

85,030,560,000

 

600

1,610

966,000

579,600,000

360,000

216,000,000

129,600,000,000

 

640

1,380

883,200

565,248,000

409,600

262,144,000

167,772,160,000

 

700

1,725

1,207,500

845,250,000

490,000

343,000,000

240,100,000,000

 

800

1,495

1,196,000

956,800,000

640,000

512,000,000

409,600,000,000

 

900

2,070

1,863,000

1,676,700,000

810,000

729,000,000

656,100,000,000

 

1,000

1,840

1,840,000

1,840,000,000

1,000,000

1,000,000,000

1,000,000,000,000

 

1,040

2,530

2,631,200

2,736,448,000

1,081,600

1,124,864,000

1,169,858,560,000

 

1,100

2,990

3,289,000

3,617,900,000

1,210,000

1,331,000,000

1,464,100,000,000

 

1,200

4,025

4,830,000

5,796,000,000

1,440,000

1,728,000,000

2,073,600,000,000

10,160

35,765

23,876,300

20,502,522,000

8,330,400

7,641,296,000

7,496,879,040,000

 

Con 15 observaciones se tiene un n de 15

 

econometria

 

Siguiendo el esquema anterior se procede a simultanear las ecuaciones, comenzaremos con (1) y (2)

 

econometria

 

Simultaneando (1) y (3)

 

econometria

 

Multiplicando -8.330.400 por la (1) y 15 por la (3)

 

econometria

 

Sustituyendo este valor en 4 y despejando b  tenemos

 

b= (-5,227,900 – 29,982,576,000(0.009954675))/ 21,730,400
b= -13.97556819

 

Para encontrar el coeficiente c hay que sustituir en cualquiera de (1), (2) ó (3), tomando la ecuación primera se tiene:

 

35,765 = 15 a + 10,160 b + 8,330,400 c
35,765 = 15 a + 10,160 (-13.97556819) + 8,330,400 (0.009954675)
35,765 = 15 a -141991.7728 + 82926.42106
a = (35,765+141991.7728- 82926.42106)/15
a = 6322.023448

 

En consecuencia la ecuación queda

 

Y(x) = 0.009954675 X2 - 13.97556819 X + 6322.023448

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