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Transformaciones geométricas: definición, elementos, categorías y clasificación

1. Definición 

Cuando a un objeto se le aplica una fuente luminosa éste genera una sombra, entre el objeto y su sombra existe una relación biunívoca, de manera que a cada punto del objeto le corresponde otro en su sombra y viceversa. Así pues se ha establecido una relación de transformación.

"Una transformación geométrica es una operación o la combinación de varias de ellas, en que se parte de una forma original para generar otra nueva estableciendo una relación biunívoca entre ellas."

transformación

 

2. Elementos

En toda transformación existen tres elementos: 

2.1 Elementos característicos: Los que definen todas las correspondencias entre la figura original y la transformada.
 
2.2 Elementos dobles: Los que se transforman en sí mismos.
 
2.3 Elementos impropios: Los elementos impropios, también llamados elementos en el infinito, pertenecen a la geometría no euclídea o proyectiva. Desarrollada por el matemático Jean Victor Poncelet (1768-1867), esta geometría introduce variaciones importantes respecto a los elementos básicos de la geometría euclídea tradicional; por ejemplo la recta y los planos paralelos pasan a ser secantes, ya que se cortan en el infinito; esta circunstancia no contradice la geometría euclídea, sino que la complementa, situándola en un ámbito espacial limitado.
  • Punto impropio: Elemento común que tiene entre sí todas las rectas paralelas de un conjunto cuando tienden al infinito. Cualquier recta tiene un único punto impropio.
  • Recta impropia: Elemento común que tienen entre sí todos los planos paralelos de un conjunto cuando tienden al infinito. Cualquier plano tiene una única recta impropia.
  • Plano impropio: Es el lugar geométrico constituido por todos los elementos impropios de la geometría euclídea. Existe un único plano impropio. 
 
3. Categorías de figuras geométricas 
3.1 Formas de primera categoría: Son las generadas al moverse un elemento geométrico (punto, recta o plano) 
  • Serie rectilínea: Conjunto de puntos alineados, es decir, situados sobre una misma recta.
  • Haz de rectas: Conjunto de rectas que concurren en un punto llamado vértice del haz, y que pertenecen a un mismo plano.
  • Haz de planos: Conjunto de planos que tienen en común una misma recta.

transformación

 
3.2 Formas de segunda categoría: Son las que están generadas por dos elementos (punto y recta y plano).
  • Forma plana: Conjunto de todos los puntos y rectas que constituyen un plano, incluye a las series rectilíneas y al haz de rectas.
  • Radiación de rectas: Conjunto de todas las rectas que tienen en común un punto denominado vértice.
  • Radiación de planos: Conjunto de planos que pasan por un punto común. 

transformación

 
3.3 Formas de tercera categoría: Conjunto de todos los puntos, las rectas y los planos que constituyen las figuras tridimensionales del espacio (poliedros y superficies curvas) incluyendo todas las formas de primera y segunda categoría.
 
poliedros
 
 
4. Clasificación 
Clasificación en función al aspecto de la figura homóloga:
4.1 Isométricas: Son aquellas que conservan las dimensiones y los ángulos entre la figura original y la transformada.
  • Traslación.
  • Giro.
  • Simetría.

4.2 Isomórficas: Son aquellas transformaciones que conservan la forma, es decir, los ángulos de la figura original y la transformada son iguales y las longitudes son proporcionales.

  • Homotecia.
  • Semejanza.

4.3 Anamórficas: Son aquellas en las que cambia la forma entre la original y la transformada.

  • Inversión.

En la siguiente lección estudiaremos cada una de ellas.

 
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