Lección 17ª

 

 

 

 

 

   

CASQUETE ESFÉRICO


Llamamos casquete esférico a cualquiera de las dos partes en que un plano perpendicular al eje vertical de la esfera divide a ésta:

 

Si el plano cortara a la esfera por el centro cada uno de los casquetes llamaríamos hemisferio. El planeta Tierra tiene dos hemisferios, Norte y Sur, sus alturas están comprendidas entre el ecuador y cada uno de los polos.

En nuestro caso el casquete esférico en el que nos vamos a centrar es en el que se encuentra en el interior del hemisferio norte.

En la figura hemos designado por r y h el radio y altura del casquete esférico.
R representa el radio de la esfera.
R – h es la diferencia entre el radio de la esfera y la altura del casquete esférico.  

VOLUMEN DEL CASQUETE ESFÉRICO(1)
La deducción de la fórmula del volumen del casquete esférico exige un pequeño esfuerzo aunque, en realidad, es un trabajo sencillo.
Tan sencillo que lo haremos con una simple regla de tres.
Pero antes hemos de estudiar bien que es el sector esférico.

SECTOR ESFÉRICO
Recordarás que un sector circular es el área de una parte del círculo comprendida  entre un arco y dos radios:

El sector esférico comparando con el sector circular es el volumen formado por un casquete esférico y el cono que delimitan los radios de los bordes de este:

La forma del sector esférico la tienes en la siguiente figura (volumen del casquete esférico + volumen del cono).

 

VOLUMEN  DEL SECTOR ESFÉRICO
El volumen del sector esférico lo calculamos con una sencilla regla de tres.

Observa bien que:
r ……….es el radio del casquete esférico y del cono
h  ………es la altura del casquete esférico
R – h….. es la altura del cono
R ………es el radio de la esfera

Con los datos a los que nos hemos referido vamos a comenzar el cálculo del volumen del sector esférico.

Recordarás que la superficie de una esfera es:

El volumen de la esfera es:

El área del casquete esférico lo hallaremos en el Tema: Geometría(4): Áreas de los cuerpos geométricos

De momento, utilizamos la fórmula del área del casquete esférico que es:

Establecemos la siguiente regla de tres:

De donde obtendremos:

Podemos simplificar la fórmula anterior de un modo muy sencillo puesto que todos los datos se están multiplicando:

De este modo hemos deducido el valor del volumen del sector esférico:

El volumen del sector esférico se calcula multiplicando por PI, por el cuadrado del radio de la esfera y por la altura del casquete esférico.
Los datos esenciales para su cálculo son el radio de la esfera y la altura del casquete esférico:

15(3).40   En la figura siguiente tienes en tono azulado el casquete esférico, en amarillo el cono. Ambos forman el sector esférico.

El radio de la esfera mide 3 cm.
El radio del cono mide 2 cm.
La altura del cono mide 2,25 cm.
La altura del casquete esférico mide 0,75 cm.
Calcula el volumen del sector esférico.

Respuesta:

Solución
Aplicamos el valor de la fórmula del volumen del sector esférico:

15(3).41   En la figura siguiente tienes una esfera de radio 4 cm., radio del cono 3 cm. y debes calcular:

1.-  Altura del cono

2.-  Altura del casquete esférico

3.-  Volumen del sector esférico.

Respuesta:

Solución
En primer lugar calculamos el valor de b o la altura del cono
Conocemos la hipotenusa 4(radio de la esfera y un cateto, 3 (radio del cono):

En segundo lugar, calculamos la altura del casquete esférico:

El valor de a, es decir, la altura del casquete esférico será:

En tercer lugar, hallamos el volumen del sector esférico:

15(3).42  Calcula el volumen del sector esférico y la altura del casquete esférico conociendo los datos siguientes:
                                                                        Radio de la esfera: 3cm.
                                                                        Altura del cono: 2 cm.
                                                                        Radio del cono: 2,2 cm.

Respuesta: el volumen y 1 cm. la altura del casquete esférico.
 

15(3).43   Sabiendo que las alturas del casquete esférico y el cono que forman un sector esférico miden 2 y 3 cm. Calcula el volumen de dicho sector esférico.

Respuesta:

Solución

Sumando las alturas del casquete esférico y el cono obtenemos el radio de la esfera: 3 + 2 = 5cm

mide el radio de la esfera: