Lección 5ª

 

 

 

 

 

   

 

VECTORES UNITARIOS  EN EL PLANO

Hemos estudiado los vectores  a los que llamamos unitarios porque sus módulos valen 1.

 

En la figura siguiente:




Vector unitario es el que su módulo vale 1.

 

Teniendo en cuenta  la definición de vector unitario podemos decir que las coordenadas de un vector unitario pueden ser distintas a cero y a 1. Lo único que debes tener en cuenta es que su módulo valga 1.

 

Anteriormente estudiamos que para calcular el vector  a partir de los vectores perpendiculares  

multiplicamos a sus módulos (de valor 1 cada uno) por los valores de las coordenadas de x e y:



Es lógico que para hallar el vector unitario a partir de un vector cualquiera tengamos que dividir a sus coordenadas por su módulo.

 

Ejemplo:

 

En la figura anterior las coordenadas de  son (5,4).
El módulo vale:
Si divido a las coordenadas (5,4) por obtendré un nuevo vector cuyas coordenadas serán el cociente de 5 y 4 entre , es decir,
Comprobamos si el módulo del vector  vale 1:

Efectivamente el vector  es unitario y tiene la misma dirección y sentido que el vector .
21.15  ¿Es unitario el vector ? ¿Porqué?

Respuesta: Sí, porque su módulo vale 1

Solución


21.16  ¿Es unitario el vector ? ¿ Porqué?

Respuesta: Sí, porque su módulo vale 1.

Solución:

21.17 Las coordenadas del vector  son (3,4) ¿cuáles son las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido que .

Respuesta

Solución

Para calcular las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido al que nos proponen (recordamos lo que hemos dicho anteriormente), es la de dividir las coordenadas del vector dado entre el valor de su módulo:

 

Por ejemplo, las coordenadas del vector  son (3,4) ¿cuáles son las coordenadas de un vector unitario con la misma dirección y sentido que .
Calculo el módulo de :
Ahora divido las coordenadas de que son (3,4)

entre el módulo que acabo de calcularlo que es 5.

 

Las coordenadas del vector unitario con la misma dirección y sentido que  será (llamándole   

al vector unitario):


Lo comprobamos:

Vemos que el vector
  es unitario.
21.18  Supongamos el vector que lo referimos a la base canónica. Calcula un vector con la misma dirección y sentido que tiene pero que sea unitario.

Respuesta:


Solución

 Después de calcular el módulo del vector :



COORDENADAS CARTESIANAS DE UN VECTOR  RESPECTO A LA BASE CANÓNICA

Las coordenadas cartesianas, es decir, con relación al eje de abscisas o eje X y con relación al eje de las ordenadas o eje Y las expresamos (x,y). De este modo fijamos un punto en el eje de coordenadas.

 

Las coordenadas cartesianas de cualquier vector

teniendo en cuenta los vectores unitarios podemos escribir:


A x e y le podemos dar cualquier valor y de este modo obtendremos vectores diferentes:

A partir de lo que acabas de estudiar realizamos el producto escalar de dos vectores en función de los vectores unitarios.

 

 

Es decir, calculamos del ejemplo anterior el producto de los dos vectores:

El producto  vale 0 porque si multiplicas las coordenadas de  por las de 

De momento, el producto vale: porque y valen cero.
Como  
valen 1 cada uno de ellos serán iguales a 1.
Vemos que  
21.19  ¿Cuánto vale el producto: ?

Respuesta: -34

Solución: