Lección 10ª

 

 

 

 

 

   

 

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Es ahora, al referirnos al producto vectorial,  cuando al signo de multiplicar lo representamos con el aspa o cruz de ahí que también llamemos producto cruz.

 El producto vectorial de dos vectores produce un vector  perpendicular  a los dos vectores.




En la siguiente figura, el producto vectorial de los dos vectores situados en el plano: y es un nuevo vector .


Este vector   o tienes las siguientes características:


Características del vector 

Todo vector tiene sus propias particularidades como son: su módulo, su dirección y su sentido.

Vamos a estudiar el valor del módulo del vector su dirección y sentido.

Módulo:

En la figura siguiente tenemos un plano donde hemos dibujado  los vectores :


El será igual al cateto opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa:

Podemos escribir también:


de donde vemos que :
Si multiplicamos a los dos miembros de la igualdad por el módulo de tenemos:

El producto

equivale a la superficie del paralelogramo OABC:



La base es  y la altura 
También podemos expresar la superficie del paralelogramo OABC con el producto:

Como hemos dicho que a   equivale a:

Según vemos en la línea anterior, el módulo del producto vectorial equivale al área del paralelogramo que está definido por los dos vectores:

 

Superficie del paralelogramo 

Vamos a analizar la igualdad:
El valor del módulo depende de los valores de:     

Esto quiere decir que el valor de  aumentará o disminuirá si lo hacen  

que los tenemos en el plano.

Comprobemos:


Disponemos de los datos siguientes:


Aplicando estos valores en

En resumen, vemos que el producto vectorial de dos vectores   y es otro vector que escribimos , perpendicular al plano que los contiene cuyo módulo vale .

El vector
 
tiene un módulo que vale:



21.44  Según los datos de la figura siguiente, calcula el valor del módulo del vector :

Respuesta:

Dirección:

La dirección del vector es la línea perpendicular al plano que contiene los vectores y .

Sentido:

El sentido de   o lo que es lo mismo, hacia dónde señala la punta de flecha de este vector nos lo da el dedo pulgar  extendido de la mano derecha, un tirafondo, un sacacorchos,… tal como lo vamos a ver a continuación.


Si tomas el vector con la mano derecha tal como ves en la figura, cerrando los dedos excepto el pulgar que lo mantienes extendido hacia arriba y giras la mano en el sentido inverso a la marcha de las agujas de un reloj, de por el camino más corto el sentido del vector lo señala el pulgar, en este caso hacia arriba o positivo.

 

Consideramos siempre el movimiento del primer vector hacia el encuentro con el segundo vector recorriendo el menor de los ángulos  que forman los dos vectores.

Veamos el ejemplo del tirafondo.

Aplicando la punta del mismo en el punto común de los tres vectores tal como lo tienes en la figura siguiente:


Para avanzar el tirafondo harías el mismo giro del que tendrías que hacer para de ir de   por el camino más corto.

 
El movimiento de giro lo haces en sentido contrario de la marcha de las agujas de un reloj.

 Exactamente sucede con el sacacorchos, si queremos introducir en el corcho tendremos que girar de modo que el vector  llegue al vector  por el camino más corto (sentido positivo):


¿Qué sucedería cuando el giro lo tenemos que hacer para ir del vector   al  coincidiendo con la marcha de las agujas de un reloj, el sentido será opuesto (negativo) al estudiado anteriormente.

 

Veamos este caso,  teniendo en cuenta la siguiente figura:



Vemos que para ir del vector al por el camino más corto, el sentido de giro es contrario al que acabamos de estudiar.

 Ahora, el sentido del giro es contrario u opuesto al que estudiamos y coincide con la marcha de las agujas de un reloj.

¿Por qué este cambio de sentido del vector ?
Sucede que, ahora, el vector

ocupa un lugar negativo. Lo vemos cuando dibujamos un eje de coordenadas con las 3 dimensiones:


En color gris tenemos las prolongaciones de cada uno de los ejes referidos a cada una de las coordenadas correspondientes a los valores negativos de cada uno de ellos.

 

Volviendo a ( I ), para que el vector  encuentre al vector 

 por el camino más corto debe cambiar el sentido de giro.

Ahora,  tendrá que ser el opuesto al estudiado anteriormente, es decir, en este caso, coincidirá con el de la marcha de las agujas de un reloj.

Dicho de otro modo, para mantener el sentido de giro: mano derecha, tirafondo, sacacorchos,… debe ir del vector  al vector   .

En este caso, y recordando que el opuesto de 5 es – 5  podemos escribir  cuyo sentido es opuesto al de  y si son opuestos establecemos la igualdad:


Podemos comprobar que no existe la propiedad conmutativa en el producto de vectores, no es lo mismo  que  son opuestos.

 

21.45  Calcula el valor del módulo del vector  sabiendo que el módulo del vector , el módulo del vector  y el ángulo que forman los dos vectores Estos datos los tienes en la siguiente figura:


Respuesta aproximadamente

Solución:

Sabemos que 


21.46  Calcula el valor del módulo del vector de la figura siguiente e indica, dibujando, su sentido:

Respuesta con el sentido que indica la figura siguiente:



21.47  Calcula el producto vectorial de los vectores que ves en la figura siguiente siendo 

Respuesta: aproximadamente el valor de .

Por lo que acabamos de estudiar podemos decir que el producto vectorial de dos vectores no tiene propiedad conmutativa porque no es lo mismo  que   podemos escribir pero sí podemos afirmar que  

Recuerda que en el producto vectorial de dos vectores SÍ es preciso saber el orden que multiplicamos los vectores.

 

Cuanto acabamos de decir queda reflejado en las figuras siguientes:

Observamos en (1) que el producto de los vectores
En el caso de que el ángulo que formen los vectores  y
fuese igual a 90º, es decir, si son perpendiculares podemos decir, que: porque sen 90º vale 1.

En la figura (II) vemos que el sentido del vector c ha cambiado:

En este caso, al valor del vector c, para distinguirlo del (I), le asignamos el valor negativo.

  

Debe quedarte claro que, el producto vectorial de dos vectores produce un nuevo vector cuyo módulo equivale al producto de los módulos de por el seno del ángulo que forman éstos.
Su dirección es perpendicular al plano donde se hallan .
El sentido de es el que tendría el avance de un tirafondos – con giro a la derecha, contrario a la marcha de las agujas de un reloj – llevando el primer vector sobre el segundo

por el camino más corto (el menor de los ángulos).


Según lo estudiado hasta ahora y teniendo en cuenta la figura última podemos decir que:



 ¿Qué sucedería en el caso de que el camino más corto fuese ir de  siguiendo el sentido de la mano derecha, tirafondo o sacacorchos ?

Compruebo que el sentido del giro para ir desde el vector  al vector  es opuesto al sentido de ir del vector  al ,luego:


Nota: Podemos prescindir de los paréntesis porque para multiplicar un producto indicado por un número, en este caso, por -1, basta con multiplicar este número por uno de los factores.


21.48  ¿Es correcta la igualdad    ? ¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque si en la igualdad multiplicamos ambos miembros de la misma por el signo menos nos queda 

DUDAS

Es posible que cuando tengamos que representar un vector o su módulo surjan dudas respecto a la utilización del signo menos.

 

¿Podemos representar a un vector con el signo menos?

Sí y significa el sentido del mismo, contrario u opuesto al de otro vector que tiene el mismo módulo o medida o magnitud, la misma dirección pero su sentido es opuesto por ejemplo:



¿Puede ser negativo el módulo de un vector?

No, el módulo es la medida, la longitud o si quieres, la distancia entre dos puntos del vector.

Estos dos puntos son el origen, A  y el final, B que los ves en la figura siguiente.

La medida de estos vectores es la misma.

La distancia entre Almería y Ávila será la misma que entre Ávila y Almería siempre que hayamos tomado la misma ruta o dirección. Únicamente ha cambiado el sentido.

Por otra parte, al escribir el valor del módulo de un vector entre barras 

significa el valor absoluto de cada uno de ellos y sabemos que el valor absoluto de un número es el valor que tiene sin tener en cuenta su signo.

Los valores absolutos de  y  

son iguales a 4.

 

¿Pueden ser negativas las componentes de un módulo?

Sí. Puedes comprobarlo en la figura siguiente:

En la figura ves al vector 

El valor correspondiente al eje x es – 5, 3  el correspondiente a al eje y 4 al eje z.

 

En la figura, en color rojo los valores negativos pertenecientes a cada uno de los ejes.

 

Ves que los tres vectores determinan un volumen.

 

El orden de los ejes los establecemos como mejor nos parezca aunque casi siempre destinamos el vertical para z cuando tratamos las tres dimensiones.

 

Posiblemente hayas pensado que todo esto ya lo sabías y que se trata de una repetición. No te olvides (los romanos lo decían): La repetición es la madre de la sabiduría.