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Curso gratis de Progresiones Aritméticas - Interpolar medios aritméticos


La palabra interpolar que equivale a intercalar, insertar,… quiere decir, tratándose de números, a situarlos, intercalarlos, entre otros dos.
Veamos ejemplo práctico:


Supongamos que nos dicen que entre 6 y 10 tenemos que interpolar o intercalar 3 términos y que además, tanto el 6 como el diez y los tres números que han de estar entre ellos, se encuentren en progresión aritmética.
Así que, decimos que son medios porque están entre otros dos y aritméticos por tratarse de progresiones aritméticas.
Debes fijarte, muy bien, que si te dicen que entre el valor 6 y el valor 10 debes interpolar 3 números o medios aritméticos, la nueva progresión tendrá 5 términos: el de valor 6, valor 10 y los tres nuevos:

matematicas-progresiones

Casi siempre, al hablar de interpolar medios, hemos de calcular la nueva diferencia o razón d.

Te queda una progresión aritmética de primer término 6, último 10 y tres interpolados, en total 5 términos: PRIMERO Y ÚLTIMO MÁS LOS INTERPOLADOS, EN TOTAL n+2 TÉRMINOS siendo n el número de los interpolados.SIEMPRE QUE SE INTERPOLAN TÉRMINOS, LA NUEVA PROGRESIÓN TIENE N+2 TÉRMINOS, los interpolados más los dos entre los cuales se intercalan.

En la fórmula: matematicas-progresiones

Tenemos que despejar el matematicas-progresiones valor de d:

matematicas-progresiones

Esta fórmula es correcta cuando no tenemos que interpolar, pero para el caso de interpolación no vale, porque en lugar de n términos, tenemos n+2.

En la fórmula para el cálculo del valor de d, tendremos que sustituir n por n+2:

matematicas-progresiones

Con esta última fórmula puedes halla la diferencia de la nueva progresión y volviendo al ejemplo:

matematicas-progresiones

La diferencia o razón es 1.
Esto quiere decir que la nueva progresión sería:
6. 7. 8. 9. 10
Como puedes comprobar, tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.

16.23 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.

Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)

16.24 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de todos los términos.

Respuestas: d = 10; S = 1265

16.25 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la progresión.

Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.

16.26 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven?

Respuesta: 16 años.

Solución:

Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:

matematicas-progresiones

Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma:

matematicas-progresiones

Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda:

matematicas-progresiones

Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término:

matematicas-progresiones

16.26 Existe una progresión aritmética con este formato:

……………………14,6.16. ……………..44
Sabemos que tiene 31 términos. ¿Cuánto vale la suma de todos los términos?

Respuesta: 713

16.27 La sucesión es una progresión aritmética?

Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos?

Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de matematicas-progresiones matematicas-progresiones

La suma de los 50 primeros términos = 127,50

Solución:

Para calcular el valor de d restamos matematicas-progresiones

matematicas-progresiones

16.28 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros. Entre farola y farola hay una distancia constante de 7 metros. ¿Cuántos metros hay desde el portal de mi casa hasta la farola 30?

Respuesta: 208 metros

Solución:

Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu casa hasta la farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 = 203 metros.

matematicas-progresiones

Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido 5 trozos:

matematicas-progresiones

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