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domingo, 4 diciembre 2016 español
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Combinación sin Repetición

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN matematicas-teoria-combinatoria

 

Son los grupos que podemos hacer de entre m elementos tomados de en n diferenciándose, un grupo de otro, en tener algún elemento distinto.

Si disponemos de los elementos: matematicas-teoria-combinatoria y los tomamos de 2 en dos, los grupos que podemos formar de modo que cada grupo se diferencie de los demás en tener un elemento distinto son:

matematicas-teoria-combinatoria

matematicas-teoria-combinatoria

Sustituyendo valores tenemos:

matematicas-teoria-combinatoria

Vamos a analizar el numerador para obtener una fórmula sencilla.
Imagina que tenemos el siguiente producto indicado: 5x4x3

¿qué le falta para que sea 5!?    
Como sabemos que el factorial de un número lo componen una serie de factores decrecientes, partiendo de él, de unidad en unidad hasta llegar a la unidad, notamos que falta el factor 2 y si queremos escribirlo, también el 1: matematicas-teoria-combinatoria

En la expresión: matematicas-teoria-combinatoria vemos que los factores a partir de m van decreciendo de unidad en unidad, pero al llegar al factor matematicas-teoria-combinatoriase detiene.

¿Cuál es el factor siguiente a  matematicas-teoria-combinatoria que valga una unidad menos?.Lógicamente matematicas-teoria-combinatoria

El factor siguiente a  matematicas-teoria-combinatoria que valga una unidad menos sería: matematicas-teoria-combinatoria

¿Cuánto vale matematicas-teoria-combinatoria?

Si multiplico matematicas-teoria-combinatoria veo que es igual a matematicas-teoria-combinatoria

¿Cuánto vale matematicas-teoria-combinatoria?

Será lo mismo que 6!..

¿Cuánto vale matematicas-teoria-combinatoria?

El producto ha comenzado con el factor m y han ido decreciendo de unidad en unidad hasta llegar a matematicas-teoria-combinatoriael siguiente factor es matematicas-teoria-combinatoria y si le multiplico por matematicas-teoria-combinatoriaahora he enlazado desde hasta 1 decreciendo de unidad en unidad, es decir,m!.

En matematicas-teoria-combinatoria

multiplico al numerador y al denominador por ( m – n)! no varía el valor del cociente, y sin embargo, he reducido el tamaño de la fórmula de las combinaciones porque me quedará:

matematicas-teoria-combinatoria

Lo que equivale a matematicas-teoria-combinatoria

18.11  Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7  ¿cuántos productos diferentes puedo conseguir si las tomo de 2 en dos y cuáles son los factores?

Respuesta: 21 productos y son:

matematicas-teoria-combinatoria

Solución

matematicas-teoria-combinatoria

Nota.- Cada grupo debe tener un elemento distinto para que los productos sean diferentes. El orden de los factores no cambia el resultado del producto.

18.12   Con los pesos de 6 alumnos de 56, 60, 62, 63, 66 y 69 kilos tomándolos de tres en tres ¿cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse?

Respuesta: 20 pesadas

18.13  ¿Cómo puedes escribir de otro modo:  5x4!?

Respuesta: 5!

18.14   Responde, como en el ejercicio anterior a qué son iguales: 3x2!, 2x1!, 1x0!.

Respuestas: 3!, 2! y 1!   

Nota. Por convenio 0! vale 1

 

COMBINACIONES CON REPETICIÓN  matematicas-teoria-combinatoria

 

Cada grupo puede tener elementos repetidos diferenciándose uno de otro en tener un elemento distinto. 
La alteración del orden de los elementos no se admite combinaciones.
Ejemplos:

Tenemos 4 elementos matematicas-teoria-combinatorialos tomamos de dos en dos, se admite la repetición de elementos.

Si no hubiera repetición, las matematicas-teoria-combinatoria

Los grupos sin repetición son: 
                              ab, ac, ad, bc, bd, cd  (6)

Los grupos con repetición tomados de dos en dos serían:
               aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd  (10)

Los grupos sin repetición tomados de tres en tres serían:
                             abc, abd, acd, bcd   (4)

Los grupos con repetición tomados de tres en tres serían:
aaa, aab, aac, aad, abb, abc, abd, acc, acd, add, bbb, bbc, bbd, bcc, bcd, bdd, ccc, ccd, cdd, ddd  (20)

La fórmula que responde a estos resultados es:

18.15    ¿De cuántas formas puedo agrupar los números 1, 2, 3, 4 y 5 constando cada uno por 3 elementos? 
Se desea ver cada número formado.

Respuesta: 35 números que son:
111  112  113  114  115  122  123  124  125  133  134  135  144
145  155  222  223  224  225  233  234  235  244  245  255  333
334  335  344  345  355  444  445  455  555


18.16   ¿Cuántas combinaciones puedes hacer con las cifras 1, 2, 3, 4, y 5 tomadas de 3 en 3 de modo que el número 3 se halle en todos los grupos?

Respuesta: 6

Solución
Con las cinco cifras puedes hacer 10 números diferentes de 3 cifras cada uno:

matematicas-teoria-combinatoria

Cada uno de los 10 números tiene 3 cifras lo que hacen un total de 30 cifras.

De las 30 cifras, 6 corresponderán al 1, 6 al 2, 6 al 3, etc., y esto quiere decir, que habrá: matematicas-teoria-combinatoria números que contienen a cada una de  ellas: 123  124  125  134  135  145  234  235  245 345
Podrás comprobar 6 números contienen el 1
                              6 números contienen el 2
                              6 números contienen el 3
                              6 números contienen el 4
                              6 números contienen el 5

Problemas de combinatoria:

18.17   ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa?

Respuesta: matematicas-teoria-combinatoria

18.18   ¿Cuántas quinielas de fútbol tengo que rellenar para sacar una de 14?

Respuesta: matematicas-teoria-combinatoria

Solución
En cada partido, un equipo puede: ganar, empatar o perder y esto se repite en 14 partidos, luego tendremos:

matematicas-teoria-combinatoria

18.19   ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes y distintos a 54321 puedo formar con las que componen dicho número?

Respuesta: 119 números

Solución

Se trata de las 

Como en estos 120 números se encuentra 54321 y a éste no hay que incluirlo tendremos 120 – 1 =119

18.20   Con las cifras 1, 2 y 3 ¿cuántos números de 4 cifras puedo formar? Si tienes paciencia escríbelos.

Respuesta: 81 números

Solución

Al ser números de 4 cifras algunas se tienen que repetir por disponer de tres solamente. Como un número para ser distinto de otro es suficiente que varíen el orden de colocación de sus cifras nos encontramos ante variaciones con repetición: matematicas-teoria-combinatoria

Los números son: 1111  1112  1113  1121  1122  1123  1131  1132  1133  1211  1212  1213  1221  1222  1223  1231  1232 1233  1311  1312  1313  1321  1322  1323  1331  1332  1333 2111  2112  2113  2121  2122  2123  2131  2132  2133  2211 2212  2213  2221  2222  2223  2231  2232  2233  2311  2312 2313  2321  2322  2323  2331  2332  2333  3111  3112  3113 3121  3122  3123  3131  3132  3133  3211  3212  3213  3221
3222  3223  3231  3232  3233  3311  3312  3313  3321  3322 3323  3331  3332  3333

18.21  Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
1º¿cuántos números de 4 cifras podemos hacer?
2º .- ¿Cuántos de los números anteriores comienzan con la cifra 2?
3º ¿Cuántos números del problema 18.21  comienzan por 12…..?

Respuestas: 1ª) 840 números
                     2ª) 120 números
                     3ª)   20 números

Solución

1) matematicas-teoria-combinatoria

2) Comienzan por 2: matematicas-teoria-combinatoria

Ahora, el número de elementos disminuye una unidad ya que excluimos el dos y cada número tendrá 3 elementos porque al 2 ya lo tenemos en cuenta.

3) Comienzan por 12: matematicas-teoria-combinatoria

Si los números han de ser de 4 cifras y las dos primeras son 12, nos quedan 5 cifras para hacer números de 2 cifras para colocarlas detrás de 12…y de este modo, los números sean de 4 cifras como:

1234  1235 1236  1237  1243  1245  1246  1247  1253  1254  1256  1257  1263  1264  1265  1267  1273  1274  1275  1276 

18.22  Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿Cuántos números de 4 cifras puedo escribir que comiencen por 2 y terminen en 5?

Respuesta: 20 números

Solución

Los números tienen el formato: 2 ? ? ? ? ? 5 , es decir, que el primero y último ya los tengo ocupados, me quedan 5 cifras para formar números de 2 cifras cada uno: matematicas-teoria-combinatoria

que rellenarían los espacios cubiertos con el signo ?.

18.23  Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿Cuántos números de 4 cifras puedo escribir que no contengan el ni el 3?

Respuesta: 120 números

Solución

En realidad debo formar grupos de 4 elementos con 5 elementos y que se diferencien en tener un elemento distinto o en el orden de colocación: matematicas-teoria-combinatoria

18.24  Con el texto del problema anterior ¿cuántos y cuáles son los números de 4 cifras que puedes formar que comiencen por 2 acaben en 7 y no contengan ni el 3 ni el 4?

Respuesta: 6 números y son  2157, 2167, 2517, 2567, 2617 y 2657

Solución 
De las 7 posiciones o lugares tengo ocupadas 4.
Cada grupo ha de tener 4 cifras de las que 2 tengo ocupadas con el 2 y el 7.

matematicas-teoria-combinatoria

Me quedan libres 3 posiciones a ser ocupadas por 2 cifras cada vez.

Tendremos: matematicas-teoria-combinatoria

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