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Elipse II

26.14 Una elipse tiene sus focos situados en (-4, 0) y (4, 0). Sabemos que la suma de distancias desde estos puntos a un punto de la elipse es 9. Escribe la ecuación de la elipse.

Respuesta: matemáticas conicas

matemáticas conicas

Datos que conocemos: matemáticas conicas

Por Pitágoras según última figura matemáticas conicas

Hacemos operaciones:

matemáticas conicas

Tomamos de lo últimamente estudiado: matemáticas conicas y obtenemos:

matemáticas conicas

Simplificando denominadores:

matemáticas conicas

 

26.14 Calcula las coordenadas de los focos y los vértices de la elipse cuya ecuación es:

matemáticas conicas

Respuestas: matemáticas conicas

Solución

Dibujamos la elipse con sus vértices:

matemáticas conicas

Del enunciado deducimos:

matemáticas conicas

 

Ecuación de la elipse con centro fuera del origen de coordenadas
Hasta ahora hemos estudiado a la elipse cuando el centro se halla en (0,0) del eje de coordenadas, lo que conocemos como ecuación reducida o canónica de la elipse.

El centro de la elipse lo podemos tener situado en cualquier punto de los ejes de coordenadas.

En la siguiente figura hemos situado al centro de la elipse en el punto matemáticas conicas.

Los nuevos valores de coordenadas quedan modificados cuya comprensión no te ofrecerán dificultades:

matemáticas conicas

Otro modo de presentar la elipse con centro fuera del eje de coordenadas sería:

matemáticas conicas

En este caso, el centro se halla en C(h,k) y la ecuación de la elipse será:

matemáticas conicas

Cada vez que tengas que hallar la ecuación de una elipse con centro fuera del origen de coordenadas tendrás que transportarla al origen.
Veamos un ejemplo:

 

26.15 Una elipse con centro en el punto C(3,2), un foco en F(6,2) y A(8,2) ¿qué ecuación tiene?

Respuesta: matemáticas conicas

Solución
La representamos gráficamente:

matemáticas conicas

Distancia focal matemáticas conicas semieje mayor matemáticas conicas

semieje menor matemáticas conicas

Trasladamos el centro de esta elipse al origen de coordenadas y obtenemos:

matemáticas conicas

 

Ecuación general de la elipse
Hasta ahora no nos hemos referido a la ecuación general de la elipse.

Una ecuación como:

matemáticas conicas

se refiere a la ecuación general de la elipse.

La obtenemos de un modo sencillo basándonos en la ecuación de la elipse con centro en matemáticas conicas y no en el origen de coordenadas.
Escribimos, según lo que acabas de estudiar, del modo siguiente:

matemáticas conicas

Haciendo operaciones tenemos:

matemáticas conicas

Ordenamos:

matemáticas conicas

Damos los valores siguientes a:

matemáticas conicas

Sustituyendo en (I) obtenemos:

matemáticas conicas

que es la ecuación general de la elipse.

Observa que los coeficientes de A y B tienen el mismo signo.

 

26.16 Sabemos que una elipse tiene su centro en matemáticas conicas ¿Cuál es su ecuación?

Respuesta: matemáticas conicas

 

26.17 La expresión matemáticas conicas¿se trata de la ecuación de una elipse?

Respuesta: Sí; la ecuación es: matemáticas conicas

 

Solución
Tienes que acomodarte a cada problema.

En matemáticas conicas podemos hacer las operaciones siguientes:

matemáticas conicas

He sacado factor común a 25 en los términos que contienen y.

Para que sea el cuadrado de la diferencia de dos números observo que falta un 1: conicas . Si le añado 1 se lo tengo que restar para no alterar el valor de la expresión, pero, como el 1 está dentro del paréntesis, al multiplicar por 25, tengo que restar 25:

conicas

Haciendo operaciones:

conicas

26.18 Se supone que la expresión conicas expresa el valor de la ecuación de una elipse ¿podrías escribirla en su forma reducida o canónica?

Respuesta: conicas

Solución

Sacamos factores comunes

conicas

Sumamos al contenido de cada paréntesis un número que lo complete como cuadrado de la suma o diferencia de dos números y para que el valor no se altere, lo restamos multiplicado por el factor común correspondiente

conicas

Al contenido de los paréntesis lo transformamos en productos notables y después, reducimos términos semejantes

conicas

Dividimos todos los términos por 36

conicas

26.19 A partir de la igualdad: conicas la ecuación de la elipse.

Respuesta: conicas

 

Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen de coordenadas
El eje principal que contiene las coordenadas de los focos y vértices del eje mayor es paralelo al eje de ordenadas.

conicas

La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos se mantiene constante e igual a conicas

Las coordenadas de los focos son: F1(0,c) y F2(0,-c).

Hacemos uso del cálculo de la distancia entre dos puntos:

conicas

Pasamos la primera raíz a la izquierda del (=):

conicas

Elevamos ambos miembros al cuadrado y hacemos operaciones tal como tienes a continuación, paso a paso:

conicas

Sabemos que conicas Sacamos factores y sustituyendo conicas por conicas tenemos:

conicas

Dividiendo todos los términos por conicas simplificando y ordenando llegamos a:

conicas , o bien, conicas

 

Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen de coordenadas

Suponiendo que el centro estuviese en C(h,k) la ecuación de la elipse vertical será:

conicas

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