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Casquete Esférico - Volúmen del Casquete Esférico - Volúmen del Sector Esférico

Llamamos casquete esférico a cualquiera de las dos partes en que un plano perpendicular al eje vertical de la esfera divide a ésta:

Casquete Esférico

 

Si el plano cortara a la esfera por el centro cada uno de los casquetes llamaríamos hemisferio. El planeta Tierra tiene dos hemisferios, Norte y Sur, sus alturas están comprendidas entre el ecuador y cada uno de los polos.

En nuestro caso el casquete esférico en el que nos vamos a centrar es en el que se encuentra en el interior del hemisferio norte.

En la figura hemos designado por r y h el radio y altura del casquete esférico.
R representa el radio de la esfera.
R – h es la diferencia entre el radio de la esfera y la altura del casquete esférico.

 

VOLUMEN DEL CASQUETE ESFÉRICO(1)
La deducción de la fórmula del volumen del casquete esférico exige un pequeño esfuerzo aunque, en realidad, es un trabajo sencillo.

Tan sencillo que lo haremos con una simple regla de tres.
Pero antes hemos de estudiar bien que es el sector esférico.

SECTOR ESFÉRICO
Recordarás que un sector circular es el área de una parte del círculo comprendida entre un arco y dos radios:

VOLUMEN DEL CASQUETE ESFÉRICO(1)

El sector esférico comparando con el sector circular es el volumen formado por un casquete esférico y el cono que delimitan los radios de los bordes de este:

VOLUMEN DEL CASQUETE ESFÉRICO(1)

La forma del sector esférico la tienes en la siguiente figura (volumen del casquete esférico + volumen del cono).

VOLUMEN DEL CASQUETE ESFÉRICO

 

VOLUMEN DEL SECTOR ESFÉRICO
El volumen del sector esférico lo calculamos con una sencilla regla de tres.

VOLUMEN  DEL SECTOR ESFÉRICO

Observa bien que:
r ……….es el radio del casquete esférico y del cono
h ………es la altura del casquete esférico
R – h….. es la altura del cono
R ………es el radio de la esfera

Con los datos a los que nos hemos referido vamos a comenzar el cálculo del volumen del sector esférico.

Recordarás que la superficie de una esfera es: superficie de una esfera

El volumen de la esfera es: volumen de la esfera

El área del casquete esférico lo hallaremos en el Tema: Geometría(4): Áreas de los cuerpos geométricos

De momento, utilizamos la fórmula del área del casquete esférico que es: área del casquete esférico

Establecemos la siguiente regla de tres:

área del casquete esférico

De donde obtendremos:

área del casquete esférico

Podemos simplificar la fórmula anterior de un modo muy sencillo puesto que todos los datos se están multiplicando:

área del casquete esférico

De este modo hemos deducido el valor del volumen del sector esférico:

 

volumenes del sector esférico

El volumen del sector esférico se calcula multiplicando  volumen del sector esférico por PI, por el cuadrado del radio de la esfera y por la altura del casquete esférico.

Los datos esenciales para su cálculo son el radio de la esfera y la altura del casquete esférico:

 volumen del sector esférico

15(3).40 En la figura siguiente tienes en tono azulado el casquete esférico, en amarillo el cono. Ambos forman el sector esférico.

 volumen del sector esférico

El radio de la esfera mide 3 cm.
El radio del cono mide 2 cm.
La altura del cono mide 2,25 cm.
La altura del casquete esférico mide 0,75 cm.
Calcula el volumen del sector esférico.

Respuesta:  casquete esférico

Solución
Aplicamos el valor de la fórmula del volumen del sector esférico:

fórmula del volumen del sector esférico

15(3).41 En la figura siguiente tienes una esfera de radio 4 cm., radio del cono 3 cm. y debes calcular:

1.- Altura del cono

2.- Altura del casquete esférico

3.- Volumen del sector esférico.

fórmula del volumen del sector esférico

Respuesta: fórmula del volumen del sector esférico

Solución
En primer lugar calculamos el valor de b o la altura del cono
Conocemos la hipotenusa 4(radio de la esfera y un cateto, 3 (radio del cono):

altura del cono

En segundo lugar, calculamos la altura del casquete esférico:

la altura del casquete esférico

El valor de a, es decir, la altura del casquete esférico será: volumenes

En tercer lugar, hallamos el volumen del sector esférico:

volumen del sector esférico

15(3).42 Calcula el volumen del sector esférico y la altura del casquete esférico conociendo los datos siguientes:
Radio de la esfera: 3cm.
Altura del cono: 2 cm.
Radio del cono: 2,2 cm.

Respuesta: volumen del sector esférico el volumen y 1 cm. la altura del casquete esférico.

15(3).43 Sabiendo que las alturas del casquete esférico y el cono que forman un sector esférico miden 2 y 3 cm. Calcula el volumen de dicho sector esférico.

Respuesta: volumen del sector esférico

Solución

Sumando las alturas del casquete esférico y el cono obtenemos el radio de la esfera: 3 + 2 = 5cm

mide el radio de la esfera:

volumen del sector esférico

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