Ejercicios # 8 y 9

Ejercicio#8

Con los datos que ves en la figura siguiente, calcula la altura de la montaña representada por la vertical –h– de color rojo:

trigonometria

Desde el punto A medimos el angulo de elevación, con referencia a la cima de la montaña y vemos que resultan 54º
Avanzamos 500 m. (hacia el punto B) y desde este punto, medimos el angulo con las referencias anteriores y obtenemos 23º. ¿ Cuál es la altura (h) de la montaña?

Respuesta: 302,83 m.

Solución

Al cateto contiguo al ángulo de 54º le damos una longitud de x metros (para evitar hacer un túnel le damos este valor).

El cateto opuesto al ángulo vale h

Utilizando la fórmula de la tangente (cateto opuesto dividido por el cateto contiguo).

Escribimos la primera ecuación:

trigonometria

La segunda ecuación la formamos del modo siguiente:

El cateto opuesto al ángulo de 23º vale h
El cateto contiguo al ángulo de 23º vale 500 + h

Con estos datos escribimos la ecuación:

 


trigonometria



Nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

trigonometria

 

Igualamos las ecuaciones porque ambas son iguales a h:

 

trigonometria


Como h=1,37x; el valor de h=1,37 x 221,05; h=302,83 m.

 

Ejercicio #9

En la fotografía que ves a continuación

 

trigonometria

 

Tienes en la zona superior izquierda y desde lo alto de una roca el ángulo de depresión, en azul claro, desde el punto indicado hasta un punto de la orilla opuesta del río, equivalente a 51º.

Desde un saliente de una roca situada en la misma vertical y 150 metros más abajo del lugar anterior, el ángulo de inclinación, en color amarillo, hasta el punto anterior de la orilla del río es de 47º.

Se desean conocer: la anchura del río y la altura desde la superficie del río hasta la roca sobre la orilla izquierda donde se hizo la primera medición.

Respuestas: 1ª: 922,915 m. la anchura del río y 2ª 1.139,365 m. la altura de la orilla.
Solución

En primer lugar debes recordar que dos rectas paralelas cortadas por una secante determinan ángulos alternos internos iguales:

 

trigonometria
 

La altura de la orilla izquierda hasta el peñasco: y + 150 m. (se trata del cateto opuesto a 29º en la fotografía y el valor de sería el cateto opuesto a 19º).

Anchura del río x m.

Según los datos expuestos en la fotografía tenemos una primera ecuación:

 

tan53=y+150/x

 

La segunda ecuación será:

 

tan47=y/x

 

Podemos escribir el siguiente sistema:

 

trigonometria

 

Calculamos el valor de y para saber la altura:

trigonometria

 

Como nos piden la altura hasta la cima del peñasco situado sobre la orilla tendremos que sumar los 150 metros: 989,365+150 =1.139,365 m.

 

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