Ejercicios Resueltos

1.- Escribir en forma polar

a) -1-i

b) 2-2i

c) 1+√3i

-----------------------------------------

a) -1+i

el módulo es

square root of left parenthesis negative 1 right parenthesis squared plus 1 squared end root equals square root of 2

el argumento es 

a r c tan open parentheses fraction numerator 1 over denominator negative 1 end fraction close parentheses equals a r c tan left parenthesis negative 1 right parenthesis equals fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction

por lo tanto el número complejo en forma polar es

square root of 2 subscript fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction end subscript

b) 2-2i

el módulo es

square root of 2 squared plus open parentheses negative 2 close parentheses squared end root equals square root of 8

el argumento es 

a r c tan open parentheses fraction numerator 1 over denominator negative 1 end fraction close parentheses equals a r c tan left parenthesis negative 1 right parenthesis equals fraction numerator 7 straight pi over denominator 4 end fraction

por lo tanto el número complejo en forma polar es

square root of 8 subscript fraction numerator 7 straight pi over denominator 4 end fraction end subscript

c) 1+√3i

el módulo es

square root of 1 squared plus square root of 3 squared end root equals square root of 4 equals 2

el argumento es 

a r c tan open parentheses fraction numerator square root of 3 over denominator 1 end fraction close parentheses equals a r c tan left parenthesis square root of 3 right parenthesis equals straight pi over 3

por lo tanto el número complejo en forma polar es

2 subscript straight pi over 3 end subscript

 

2.- Escribir en forma binómica

a) 2π

b) 6π/2

c) 87π/4

d) 42π/3

-----------------

a) 2π=2(cosπ+isenπ)=-2i

b) 6π/2=6(cos(π/2)+isen(π/2))=6i

c) 87π/4=8(cos(7π/4)+isen(7π/4))=8(√2/2-√2/2i)=4√2-4√2i

d) 42π/3=4(cos(2π/3)+isen(2π/3))=-2+2√3i

 

3.-Calcular

(1+i)10

El número 1+i en forma polar es 

square root of 2 subscript straight pi over 4 end subscript

Entonces

open parentheses square root of 2 subscript straight pi over 4 end subscript close parentheses to the power of 10 equals 32 subscript fraction numerator 10 straight pi over denominator 4 end fraction end subscript equals 32 subscript fraction numerator 5 straight pi over denominator 2 end fraction end subscript

32 subscript fraction numerator 5 straight pi over denominator 2 end fraction end subscript equals 32 subscript straight pi over 2 end subscript equals 32 i

4.- Calcular 

root index 6 of negative 64 end root

En primer lugar expresamos -64 en forma polar:

negative 64 equals 64 subscript straight pi

Como es una raíz sexta la solución serán 6 números complejos z1, z2, z3, z4, z5, z6.

Entonces determinamos el módulo y el argumento del número complejo z=64π

open vertical bar z 1 close vertical bar equals open vertical bar z 2 close vertical bar equals open vertical bar z 3 close vertical bar equals open vertical bar z 4 close vertical bar equals open vertical bar z 5 close vertical bar equals open vertical bar z 6 close vertical bar equals root index 6 of open vertical bar z close vertical bar end root space equals root index 6 of 64 equals 2

theta 1 horizontal ellipsis theta 6 equals pi over 6 plus fraction numerator 2 k straight pi over denominator 6 end fraction space p a r a space k equals 0 comma 1 comma 2 comma 3 comma 4 comma 5
theta 1 equals pi over 6
theta 2 equals pi over 2
theta 3 equals fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction
theta 4 equals fraction numerator 7 pi over denominator 6 end fraction
theta 5 equals fraction numerator 9 pi over denominator 6 end fraction equals fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction
theta 6 equals fraction numerator 11 pi over denominator 6 end fraction


z1 = 2(cos (π/6) + i sen (π/6)) = 2 ((√3)/2 + i (1/2)) = √3 + i 
z2 = 2(cos (π/2) + i sen (π/2)) =2 ( 0 + i) = 2i 
z3= 2(cos (5π/6) + i sen (5π/6)) =2 ((-√3)/2 + i (1/2)) = -√3 + i 
z4 = 2(cos (7π/6) + i sen (7π/6)) = -√3 - i 
z5 = 2(cos (3π/2) + i sen (3π/2)) =2 ( 0 – i) = -2 i 
z6= 2(cos (11π/6) + i sen (11π/6)) = √3 - i 

En la siguiente imagen se muestra la representación gráfica de la solución del problema

Raíz sexta de 64
Raíces sextas de -64


5.- Resolver la ecuación x2-2x+2=0

Aplicamos la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado

x equals fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator 2 plus-or-minus square root of 4 minus 4 times 1 times 2 end root over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 2 plus-or-minus square root of negative 4 end root over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 2 plus-or-minus 2 i over denominator 2 end fraction

Por lo tanto las soluciones son

1+i 

1-i

 

6.-calcular

fraction numerator 1 minus 2 i over denominator 1 plus i end fraction plus left parenthesis 3 minus i right parenthesis left parenthesis negative 1 minus i right parenthesis

-------------------

fraction numerator 1 minus 2 i over denominator 1 plus i end fraction plus left parenthesis 3 minus i right parenthesis left parenthesis negative 1 minus i right parenthesis equals fraction numerator open parentheses 1 minus 2 i close parentheses open parentheses 1 minus i close parentheses over denominator open parentheses 1 plus i close parentheses open parentheses 1 minus i close parentheses end fraction plus open parentheses negative 3 minus 3 i plus i plus i squared close parentheses equals
equals fraction numerator 1 minus i minus 2 i plus 2 i squared over denominator 2 end fraction plus left parenthesis negative 4 minus 2 i right parenthesis equals fraction numerator negative 1 minus 3 i over denominator 2 end fraction minus 4 minus 2 i equals
equals negative 9 over 2 minus 7 over 2 i

7.- Calcular (1+i)i, (1+i)i2 y (1+i)i3, representar gráficamente el resultado y explicar el efecto que se produce al multiplicar un número complejo por i

(1+i)i =-1+i

(1+i)i2 = -1-i

(1+i)i3  = 1-i

La representación de gráfica de los resultados obtenidos:

multiplicar por i

Resultado de multiplicar por i un número complejo

Como se puede observar al multiplicar un número complejo por i se produce una rotación de 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj.

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