Calcular el Rango de las Matrices. Ejercicios #30 y 31

No siempre es tan sencillo calcular el rango, a veces, es algo más complicado pero si llevas a cabo los pasos siguientes no hallarás dificultades.


matrices y determinantes

 

Vamos a obtener matrices escalonadas porque sabemos que si una fila solamente contiene ceros será linealmente dependiente.

 

Para obtener una matriz escalonada el elemento (2  1), es decir, el 4 lo hemos de convertir en 0 y para ello, multiplicamos a los valores de  la F1 (fila 1) por  4 y vamos restando a los valores de F2 (fila 2) tal como queda indicado más abajo:

 

Antes de comenzar a realizar algunas operaciones recordarte el orden jerárquico de los signos. Primero se hacen multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas:

 

 

matrices y determinantes

 

 

Siguiendo con la construcción de una matriz escalonada, el elemento que se halla en la posición (3  1) que es el 7 también ha de ser igual a cero y para ello multiplicamos a los valores de la fila 1 (F1) por -7 y vamos restando de los valores de F2:

 

 

matrices y determinantes

 


Recuerda que tratamos de obtener una matriz escalonada. En este momento el valor situado en (3   2),  -6 ha de ser cero por lo que debo dirigirme a la F2 que ya comienza su fila con el valor cero. No relaciono F3 con F1 porque obtendría un valor para el lugar (3   1) que ya lo tengo y es cero.

 

Multiplico a cada valor de F2 por – 2  y resto de los valores que tengo en F3:


matrices y determinantes



Observo que tengo dos filas linealmente independientes o dos filas que no son ceros, luego el rango vale 2.
 

Ejercicio #30  

Calcula el rango de la matriz:


matrices y determinantes

 

Respuesta: rang (D) = 2

Solución

Siempre has de tratar de conseguir que el primer elemento de la 2ª  fila (2   1) sea 0. Seguidamente, el (3   1) también, y así hasta lograr que a partir de la 2ª fila, los elementos de la 1ª columna sean ceros.

Una vez que lo hayas conseguido y si ves que todavía no sabes el rango de la matriz, debes tratar que el 2º elemento de la 3ª fila sea cero, es decir, tratar de obtener una matriz escalonada.

En cuanto veas que la última o últimas filas completas sus elementos son iguales a cero has terminado con el cálculo. Cuantas las filas independientes y ya tienes su rango.

Esto es lo que ves a continuación paso a paso:

 


matrices y determinantes
matrices y determinantes

 

Vemos que dos filas son linealmente independientes, luego el rango de esta matriz es 2.

 

Ejercicio #31 

Calcula el rango de la matriz siguiente:


matrices y determinantes


Respuesta: r(A) vale 3

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