Razón de Semejanza -Semejanza de Polígonos

Si nos fijamos en la figura siguiente podemos escribir las siguientes razones y proporciones teniendo en cuenta el teorema de Thales:

geo

Cada una de las razones, es decir, cada uno de los cocientes indicados tiene el mismo valor. A este valor se le conoce con el nombre de razón de semejanza.

 

geo

Sustituyendo los segmentos por sus valores:

geo

hallamos la razón de semejanza 1,14

 

 

15.164   Calcula las medidas de los lados de un triángulo semejante al que tienes en la figura:

 

geo

 

 

Sabemos que la razón de semejanza es 2.

Respuesta: 7,6 – 4,46 -  y 5,82 cm.

 

SEMEJANZA DE POLÍGONOS


Polígonos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados correspondientes son proporcionales.

Comprobemos paso a paso lo que acabas de leer:

 

geo

 

Hemos dibujado un triángulo donde indicamos el valor de sus ángulos.

 

Ahora trazamos el segmento geo

 

geo

 

Los ángulos que se forman con lados comunes y lados paralelos son iguales, por lo tanto, los ángulos de los dos triángulos geo son iguales y los lados:

 

geoson proporcionales.

Tomando medidas tenemos:

geo

 

En: geo sustituimos por sus valores  y b tenemos:

geo

Todas estas razones tienen el mismo valor (0,53georazón de semejanza), luego podemos escribir con valores numéricos:

geo

Nota. Recuerda que en los cálculos no hemos tenido en cuenta todas las cifras decimales de ahí que se producen errores de varias décimas.

15.165  ¿Son semejantes los dos triángulos   geo y geo de la figura siguiente?


¿Por qué?

geo

 

Respuesta: Sí, son semejantes porque tienen los mismos ángulos y los lados son proporcionales.

15.166  ¿Son semejantes los dos triángulos  geo y geo de la figura siguiente?

 

geo

 

¿Por qué son semejantes?

Respuesta: Sí, son semejantes. Tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales.

 

Aplicaciones

A veces, cuando estudiamos algunas materias nos preguntamos: “y esto,… ¿para qué sirve?”

Hacerse este tipo de preguntas es muy aconsejable. Hallando las respuestas afianzamos la comprensión  de lo que estamos estudiando.

Veamos algunos ejemplos prácticos:

15.167 Imagina que te encuentras en el campo y ves el árbol de la figura siguiente y quieres saber la altura que tiene. El único dato y suficiente es que hace un día espléndido.

También tienes un metro en el bolsillo.

 

geo

Respuesta: 9,475 m.

Solución:

1) Donde acaba la sombra del árbol clavo una estaca de madera en el suelo. Esta vara mide fuera de la tierra 1,6 metros y proyecta una sombra de 2,5 metros.

2) Al mismo tiempo calculo la longitud de la sombra del árbol, desde la base de su tronco hasta la estaca de madera y compruebo que hay 12 metros.

Estas medidas las tienes colocadas en la siguiente figura:

Comprobarás que este caso ya lo hemos estudiado. La figura representa a dos triángulos semejantes.

 

geo

 

Estos triángulos semejantes son geogeo. Tienen ángulos iguales y lados proporcionales.

Siendo x la altura del árbol podemos escribir:

geo

 Podría haber escrito también la siguiente proporción:

geo

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