Ejercicios
Ejercicio 1: Calcular el valor final de una renta prepagable trimestral, que se encuentra anticipada un año y medio, aplicando un tipo de interés del 10%. Los términos son:
Periodo | Término (ptas.) |
1° trim. | 500.000 |
2° trim. | 600.000 |
3° trim. | 700.000 |
4° trim. | 800.000 |
5° trim. | 900.000 |
6° trim. | 1.000.000 |
Ejercicio 2: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable, diferida 6 meses, aplicando un tipo de interés del 8%. Los términos son:
Periodo | Término (ptas.) |
1° año | 600.000 |
2° año | 400.000 |
3° año | 200.000 |
4° año | 400.000 |
5° año | 600.000 |
Ejercicio 3: A una renta semestral de 300.000 ptas., pospagable, y de 3 años de duración, se le aplican dos tipos de interés: el 3% para los tres primeros semestres y el 12% para los tres siguientes. La renta se encuentra diferida 1 años. Calcular:
El valor inicial
El tipo medio equivalente
Ejercicio 4: Una renta semestral de 6 términos de 200.000 ptas., prepagable, se le aplica el 8% en el 1er año, el 9% en el 2° año y el 10% en el 3er año. Esta renta se encuentra anticipada 2 años. Calcular el valor final.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
1) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente: |
1 + i = (1 + i4)^4 (siendo i4 el tipo trimestral equivalente) |
1 + 0,10 = (1 + i4)^4 |
luego, i4 = 2,411% |
2) Se capitaliza cada término al momento final: |
Periodo | Término (ptas.) | Factor de Capitalización | Término capitalizado |
1a sem. | 500.000 | (1 + 0,02411)^6 | 576.832 |
2a sem. | 600.000 | (1 + 0,02411)^5 | 675.903 |
3a sem. | 700.000 | (1 + 0,02411)^4 | 769.989 |
4a sem. | 800.000 | (1 + 0,02411)^3 | 859.270 |
5a sem. | 900.000 | (1 + 0,02411)^2 | 943.921 |
6a sem. | 1.000.000 | (1 + 0,02411) | 1.024.110 |
Suma de los términos descontados | 4.850.025 | ||
3) El importe obtenido se capitaliza por el periodo anticipado: |
Luego, Vn = 4.850.025 * (1 + 0,1)^1,5 (tipo de interés anual; la base temporal es el año) |
Luego, Vn = 5.595.424 ptas. |
Por lo tanto, el valor final de esta renta es de 5.595.424 ptas. |
Ejercicio 2:
1) Se descuenta cada término al momento inicial: |
Periodo | Término (ptas.) | Factor de Descuento | Término capitalizado |
1° año | 600.000 | (1 + 0,0)^-1 | 555.540 |
2° año | 400.000 | (1 + 0,0)^-2 | 342.920 |
3° año | 200.000 | (1 + 0,0)^-3 | 158.760 |
4° año | 400.000 | (1 + 0,0)^-4 | 294.000 |
5° año | 600.000 | (1 + 0,0)^-5 | 408.350 |
Suma de los términos descontados | 1.759.570 | ||
2) El importe obtenido se descuenta por el periodo diferido: |
Luego, Vo = 1.759.570 * (1 + 0,08)^-0,5 |
Luego, Vo = 1.693.147 ptas. |
Por lo tanto, el valor inicial de esta renta es de 1.693.147 ptas. |
Ejercicio 3:
1) Cálculo del valor inicial: |
Se calculan los valores iniciales de cada tramo como si se tratarán de dos rentas independientes, y se suman los valores obtenidos. |
a.1.- Calculo del valor inicial del primer tramo: |
Primero se calcula el tipo semestral equivalente |
1 + i = (1 + i2)^2 (siendo i2 el tipo semestral equivalente) |
1 + 0,10 = (1 + i2)^2 |
luego, i2 = 4,881% |
Luego se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) |
Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,04881)^-3/ 0,04881) |
Luego, Vo = 818.800 ptas. |
a.2.- Calculo del valor inicial del segundo tramo: |
Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 5,830% |
Luego se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) |
Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,0583)^-3/ 0,0583) |
Luego, Vo = 804.432 ptas. (valor inicial al comienzo del 2° tramo) |
Este valor se descuenta tres semestres hasta el momento inicial de la renta |
Luego, Vo = 804.432 * (1 + 0,04881)^-3 (se aplica el tipo del primer periodo) |
Luego, Vo = 697.267 ptas. |
a.3.- Calculado el valor inicial de los dos tramos se suman: |
Luego, Vo = 818.800 + 697.267 xx |
Luego, Vo = 1.516.067 ptas. xx |
Por lo tanto, el valor inicial de la renta es de 1.516.067 ptas. |
2) Cálculo del tipo medio equivalente: |
Se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) (donde im es el tipo medio) |
luego, 1.516.067 = 300.000 * ((1 - (1 + im)^-6/ im) |
luego im = 5,12% (calculado por tanteo) |
Ejercicio 4:
Se calculan de manera independiente los valores finales de cada tramo. |
a.1.- Calculo del valor final del primer tramo: |
Primero se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 3,923% |
Luego se aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) |
Luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,03923) * ((1 + 0,03923)^2 - 1)/ 0,03923) |
Luego, Vn = 423.846 ptas. (valor en el momento final del tramo primero) |
Este valor obtenido, se capitaliza hasta el momento final de la renta |
Luego, Vn = 423.846 ptas. * (1 + 0,09) * (1 + 0,10) |
Luego, Vn = 508.191 ptas. |
a.2.- Calculo del valor final del segundo tramo: |
Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 4,403% |
Se aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) |
Luego, Vn = 426.806 ptas. (valor en el momento final del tramo segundo) |
Este valor se capitaliza hasta el momento final de la renta |
Luego, Vn = 426.806 ptas. * (1 + 0,10) |
Luego, Vn = 469.486 ptas. |
a.3.- Calculo del valor final del tercer tramo: |
Se calcula el tipo semestral equivalente i2 = 4,881% |
Luego se aplica la fórmula Vf = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i) |
Luego, Vn = 429.762 ptas. |
a.4.- Los valores finales de los tres tramos se suman y se obtiene el valor final de la renta: |
Luego, Vn = 508.191 + 469.486 + 429.762 |
Luego, Vn = 1.407.439 ptas. |
a.5.- El valor obtenido se capitaliza dos años (periodo anticipado) |
Luego, Vn = 1.407.439 * (1 + 0,10)^2 |
Luego, Vn = 1.703.001 ptas. |
Por lo tanto, el valor final de esta renta, tras el periodo anticipado, es de 1.703.001 ptas. |
