Teoría: Regla de la cadena

Cuando tenemos una función compuesta (una función dentro de otra función):

h(x) = g[f(x)]

 

Por ejemplo:

h(x) = ln (sen x)

 

Tenemos una función logarítmica g[f(x)] = ln a

Cuyo argumento “a” es un función de seno f(x) = sen x

 

La derivada de la función compuesta es:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x)

 

En el ejemplo anterior:

derivada compuesta ; si sustituimos el argumento “a” por su valor derivada de la función

derivada de la función

 

Luego:

derivadas compuestas

 

Veamos más ejemplos:

 

a) h(x) = sen x5

Tenemos una función de seno g[f(x)] = sen (a), siendo “a” una función potencia f(x) = x5.

 

La derivada de la función compuesta es:

g´[f(x)] = cos a; si sustituimos “a” por su valor = cos x5

f´(x) = 5x4

 

Luego:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = cos x5 * 5x4

 

 

b) h(x) = (4x3 + 2x2 – 3x)5

Tenemos una función potencia g[f(x)] = a5, siendo la base “a” una función polinómica f(x) = (4x3 + 2x2 – 3x).

 

La derivada de la función compuesta es:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x)

 

Por tanto:

g´[f(x)] = 5a4 ; si sustituimos ”a” por su valor = 5 * (4x3 + 2x2 – 3x)4

f´(x) = (12x2 + 4x– 3)

 

Luego:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = 5 * (4x3 + 2x2 – 3x)4 * (12x2 + 4x– 3)

 

 

c) derivada 62

Tenemos una función exponencial g[f(x)] = 4a cuyo exponente “a” es una función polinómica f(x) = 3x.

 

La derivada de la función compuesta es:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x)

 

Por tanto:

g´[f(x)] = 4a * ln 4; si sustituimos ”a” por su valor derivada63

f´(x) = 3

 

Luego:

derivada64

 

 

d) h(x) = tg (ln x)

Tenemos una función tangente g[f(x)] = tg (a), siendo “a” una función logarítmica f(x) = ln x.

 

La derivada de la función compuesta es:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x)

 

Por tanto:

derivada65

 


Luego:

derivad66a

 

 

e) h(x) = sen 23x

Tenemos una función seno g[f(x)] = sen (a), siendo “a” una función exponencial f(x) = 23x.

 

La derivada de la función compuesta es:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x)

 

Por tanto:

derivada 67

 

Luego:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = cos 23x * 3 * 23x * ln 2

 

 

 

f) h(x) = cos (cos 3x)

Tenemos una función coseno g[f(x)] = cos (a), siendo “a” a su vez otra función coseno f(x) = cos 3x.

 

La derivada de la función compuesta es:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x)

 

Por tanto:

derivada68

 

Luego:

h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = -sen (cos 3x) * (-3) * sen 3x

 

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