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viernes, 17 agosto 2018 español
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Senos y Tangentes de ángulos pequeños expresados en radianes

Cuando los ángulos expresados en radianes tomamos los mismos valores para ángulos, senos y tangentes dada la poca diferencia que hay entre ellos.

Observa los valores de los 20 primeros ángulos:

optica

5.20 El niño de la foto contempla el agua limpia de un estanque que tiene 2m de profundidad.

¿En qué está pensando? Su postura parece contemplar o meditar.

Desde el punto de vista de la Física nos preguntamos ¿A qué profundidad le parecerá que se halla el fondo?

optica

Respuesta: 1,5m

El niño supongamos que se fija en una piedra que está en el fondo y le parece ver lo que representa la figura siguiente:

optica

Tenemos en cuenta que los índices de refracción y en el aire y en el agua los representamos con n1 y n2.

La luz que refleja la piedra llega a su ojo por eso la ve.

La luz que incide con un ángulo i (dentro del agua) y se refracta con un ángulo r (en el aire) no la ve en el lugar verdadero. La ve en la prolongación del rayo que le llega:

optica

Está viendo la imagen virtual (la piedra que no es).

De un modo esquemático lo podemos representar:

 

optica

 

Los valores angulares que se indican son reales.

La piedra para el observador está en B y no en C que es el lugar donde realmente se halla.

Tenemos dos triángulos rectángulos (rellenos de color gris en dos tonos) que se han formado:

optica

En el triángulo OAB, el ángulo correspondiente al punto B:

optica (I)

vale r por opuestos por el vértice.

La distancia AB es la altura virtual que hay de agua.

El ángulo correspondiente al punto C en el triángulo OAC:

optica (II)

vale i por alternos internos porque espero que recuerdes que dos rectas paralelas cortadas por una transversal forma dentro de la superficie comprendida entre las paralelas ángulos iguales a cada lado de la misma:

optica

En la figura correspondiente a (I) la tangente del ángulo r vale:

optica

En la figura correspondiente a (II) la tangente del ángulo i vale:

optica

Dividimos estas dos igualdades:

optica

Simplificamos:

optica

Sabemos que:

optica

(Cuando el rayo procede del medio de mayor índice de refracción)

y equivale a: optica

 

Anteriormente dijimos que con ángulos pequeños las diferencias entre senos y tangentes son muy pequeñas lo que nos permite acomodarnos a lo que más nos convenga.

Nos tomamos la libertad de hacer que:

optica (III)

¿Por qué hacemos esta “conversión”?

Sencillamente porque optica y nos permite en (III) hacer la sustitución siguiente:

optica

El índice de refracción de la luz en el agua vale 1,3333 y en el aire 1.

AC es la altura real.

Como nos dicen que la altura (real) del estanque es de 2m, nuestro amigo lo ve a 1,5m porque sustituyendo valores que conocemos:

optica

Podemos generalizar diciendo que la:

optica

5.21 El fondo de este hermoso lago de aguas tranquilas

optica

estimamos que se halla a 2m de profundidad.

¿A qué profundidad se halla realmente sabiendo que el índice de refracción de la luz en el agua es 1,33333?

Respuesta: 2,6667m

Solución

Sabemos que 

optica

5.22 Imaginemos que no sabes nadar pero sabes un poco de Física. Como eres inteligente y con bastante sentido común sabes que no te conviene introducirte en una piscina de más de 2m de profundidad. Después de haber observado bien te parece que el fondo se halla a 1,5m. ¿Puedes meterte en la piscina sin correr mucho riesgo? (índice de refracción de la luz en el agua 1,3333)

optica

Del estilo no te preocupes al principio, ya lo irás puliendo.

Respuesta: Sí porque su profundidad no pasa de 2m.

Aplicamos lo estudiado anteriormente y sustituimos valores:

optica

Haciendo operaciones: optica

Te permite disfrutar (si excluyes el miedo) del agua de la piscina.

5.23 Sabes que un diamante vale mucho dinero ¿te imaginas algunas razones por lo que es tan caro?

Respuesta: Probablemente hay muchas razones como su dureza, se encuentran en pocas regiones de la Tierra cuyas extracciones cuestan mucho trabajo y dinero, tradiciones en regalos de calidad entre personas pudientes, ostentación de riqueza (los pobres no lucen diamantes), etc., pero también hay personas que son atraídas por su gran belleza (parece raro pero es cierto).

Un diamante tiene un índice de refracción muy elevado (2,42) y esto hace que el ángulo límite o ángulo crítico:

Recordamos:

optica

El ángulo límite o crítico es el ángulo de incidencia en el medio más refringente en el que a partir de él no se produce la refracción sino la reflexión total (vuelve a su medio no pasa al menos refringente).

Al tener elevado el ángulo límite la reflexión total se produce la reflexión interna total con pocos grados.

Esto provoca que se produzcan en su interior gran cantidad de reflexiones o destellos de luz que le dan al diamante (tallado) una gran belleza.

Veamos como calculamos el ángulo de reflexión total.
Si el medio más refringente en lugar de agua es diamante tendríamos, haciendo uso de lo ya estudiado:

optica

Sustituimos valores que conocemos:optica

Hacemos operaciones paso a paso:

optica

Calculamos el ángulo correspondiente al arco cuyo seno mide 0,41322314:

optica

Como ves, al tener elevado el ángulo límite hace que disminuya el ángulo de reflexión interna total.

En el caso del agua tendrías:

optica

Necesitas mayor ángulo para que se produzcan reflexiones en el seno del agua.

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