Por qué, porque y porqué
Por qué
Tiene un valor interrogativo o exclamativo, por lo que se utiliza en oraciones con signos de interrogación o exclamación:
¿Por qué no has contestado?  | 
¿Por qué no quieres venir con nosotros?  | 
¡Por qué cosas viene este hombre!  | 
A veces, las oraciones interrogativas o exclamativas van sin sus signos correspondientes (discurso indirecto), pero se sigue utilizando esta forma:
El quería saber por qué no viniste  | 
| Mi hermano no entendía por qué había tanta tensión | 
Ella me pregunto por qué no la sacabas a bailar  | 
Porque
Se utiliza esta forma en contestaciones a preguntas:
¿Por qué no has contestado?. Porque pensaba que tu no estabas  | 
¿Por qué no quieres venir con nosotros?. Porque me he peleado con tu hermano  | 
¿Por qué no estudias?. Porque estoy cansado  | 
También se utiliza en otras expresiones con un sentido de causa o explicación:
El no viene porque dice que se aburre  | 
| Mi hermana estaba contenta porque empezaban sus vacaciones | 
El policía nos multó porque no llevábamos la documentación  | 
Porqué
Funciona comos sustantivo y significa el motivo, la razón, la causa de aquello de lo que se está hablando:
El porqué de tu despido sigo sin entenderlo  | 
| Sigues sin explicar el porqué de tu rabieta | 
Nunca nos justificó el porqué de su decisión  | 

