Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son del tipo:
ax +by = c
Siendo “x” e “y” las incógnitas, “a” y “b” sus coeficientes y “c” el término independiente.
Una ecuación lineal con 2 incógnitas representa una recta en el plano.
Son ecuaciones que tienen infinitas soluciones: para cada valor que tome una de las variables, la otra tomará un valor diferente que permita cumplir la igualdad.
Ejemplo 1º
4x + 3y = 7
Si x = 1
4 x 1 + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 7 – 4 = 3
y = 3 / 3 = 1
Luego el par de valores (1, 1) es una solución.
Si x = 2
4 x 2 + 3y = 7
8 + 3y = 7
3y = 7 – 8 = -1
y = -1 / 3 = -0,333
Luego el par de valores (2, -0,333) es otra solución.
Si x = 3:
4 x 3 + 3y = 7
12 + 3y = 7
3y = 7 – 12 = -5
y = -5 / 3 = -1,666
Luego el par de valores (3, -1,666) es una solución.
Y así hasta infinitas posibilidades.
Cualquier ecuación de primer grado con 2 incógnitas, tenga la forma que sea, aplicando las reglas de equivalencia se puede expresar en la forma : ax + by = c
Ejemplo 2º
7x – 6 = (8y -5) / 3
Comenzamos a transformarla: pasamos el 3 que está en el segundo miembro dividiendo al primer miembro multiplicando:
(7x – 6) * 3 = 8y -5
Resolvemos el paréntesis del primer miembro:
21x – 18 = 8y -5
Pasamos las incógnitas al primer miembro, y los términos independientes al segundo miembro.
21x– 8y = -5 + 18
21x – 8y = 13
a tenemos la ecuación expresada según el modelo ax +by = c
Representación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas
Si representamos en un gráfico todas las soluciones (pares de valores) de una ecuación lineal con 2 incógnitas podemos comprobar cómo estos puntos definen una recta.
Ejemplo 3º
Ejemplo: vamos a representar distintos pares de valores de «x» y «y» que son soluciones de la ecuación 4x + 3y = 7
Para dibujar una recta hay 2 valores que nos permite definirla:
- La pendiente de la recta: indica cuanto varía la incógnita “y” por cada unidad que varía la incógnita “x”.
- El punto por donde la recta corta el eje vertical (eje de coordenadas): es el valor que toma la incógnita “y” cuando “x = 0”. Este punto se denomina “ordenada en el origen”.
Para conocer estos valores vamos a despejar la incógnita “y”:
ax +by = c
by = - ax + c
y = (- ax + c) / b
y = (- a/b) x + c/b
La pendiente viene dada por el coeficiente de “x”: (- a/b)
El punto de corte del eje de coordenadas: y = c/b
Ejemplo 4º
4x + 3y = 7
Luego:
3y = -4x + 7
y = -4x/3 + 7/3
La pendiente viene dada por el coeficiente de “x”. Vemos que es negativa
(-4/3 = -1,33). Quiere decir que por cada unidad que aumente “x” el valor de la incógnita “y” disminuye en -1,33.
Podemos comprobarlo:
Si x=1 entonces y=1
Si x=2 entonces y=-0,3
El punto por el que la recta cruza el eje vertical es: 7/3 = 2,33.
Vamos a analizar la pendiente de la recta:
Si -a/b > 0 la pendiente de la recta es positiva
Si -a/b < 0 la pendiente de la recta es negativa
Si -a/b = 0 (esto ocurre cuando “a” es 0) la pendiente de la recta es horizontal
Si -a/b = ∞ (el símbolo ∞ significa infinito y esto ocurre cuando “b” es 0) la pendiente de la recta es vertical.
Ejemplo 5º
-3x + 5y = 4
Luego: y = 3/5 x + 4/5
Como 3/5 > 0 la pendiente es positiva
