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Los Ángulos en la circunferencia

Podemos dibujar ángulos que se relacionen con la circunferencia. Según la posición que ocupen reciben nombres apropiados con relación a esa posición.

Cuanto se refiere a los ÁNGULOS en la circunferencia, siempre RELACIONAMOS a éstos con los ARCOS que forman.

1) Ángulo central: nos hemos referido a él en más de una ocasión; se trata del ángulo formado por dos radios que son sus lados y su vértice se encuentra en el centro O de la circunferencia.

En la figura siguiente ves que el arco geometria corresponde al ángulo central Ô que lo representamos con el acento circunflejo geometriasobre la letra que representa el vértice del ángulo.

geometria

El arco geometriacorresponde al ángulo central geometria o lo que es lo mismo, la longitud del arco comprendido entre sus lados (los radios) pertenece al ángulo central geometria y su medida es de 96º.
Cuanto mayor es el ángulo central mayor será la longitud del arco que abarcan sus lados:

geometria

Vas a tener en cuenta que cuando representamos con letras un ángulo, por ejemplo geometriasignifica que la letra señalada con geometriaen este caso la O, nos referimos a que el vértice del ángulo se encuentra en dicha letra.

Cuando nos refiramos a un arco entre dos puntos señalados con letras, por ejemplo: el arco entre los puntos A y B lo representamos: geometria

Las dos circunferencias de la última figura de igual radio, la longitud del arco vemos que están en razón directa con la medida del ángulo central: a mayor medida del ángulo central corresponde mayor longitud de arco. La longitud geometriaes decir, a 50º corresponde el arco geometriay a 111º corresponde geometria y puedes comprobar que a mayor ángulo central corresponde mayor longitud de arco.

Muchas veces cuando nos referimos a las medidas de los arcos de la circunferencia hablamos de lo que miden sus longitudes en: m., dm., cm., pero también podemos referirnos a su medida en grados, minutos y segundos, incluso en radianes.

Cuando decimos que un arco mide 75º12’13’’ quiere decir que su ángulo central tiene la misma medida.

Las medidas de los arcos de la última figura puedes expresarlos también en grados: el arco geometria mide 50º y arco geometria 111º.


Las medidas de los ángulos y arcos de una circunferencia se miden en grados, minutos y segundos.

 

15.144 Una circunferencia tiene un radio de 5 m. ¿Cuánto mide un arco de esta circunferencia que corresponde a un ángulo central 60º?

Respuesta: 5,23 m.

Solución:

La longitud total de la circunferencia geometria m., corresponde a 380º
Una longitud de………………………..X m. corresponden a 60º

geometria

15.145 ¿Cuál es la longitud de un arco en metros sabiendo que su ángulo central vale 65º y su radio 8 m.?

Respuesta: 9,07 m.

2) Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la misma línea de la circunferencia y sus lados la cortan.

 

geometria

 

Ves que el vértice se encuentra en el punto P de la circunferencia y los lados del ángulo inscrito cortan a la circunferencia en A y en B.

¿Cuál es la medida del arco correspondiente a este ángulo inscrito de 44º? Por supuesto que no se trata de la longitud del arco geometria por que el ángulo tendría que ser central.

Modo de calcular el valor de un ángulo inscrito:

En primer lugar trazo una línea que une el punto B con el centro O, tal como lo puedes ver en la figura siguiente:

geometria

 

El segmento OB y el segmento OP son iguales por tratarse del radio. Esto quiere decir que si los lados con vértice en O son iguales, los ángulos cuyos vértices están en B y en P serán iguales.
Las medidas de estos ángulos los tienes a continuación y comprobamos que tienen 44º:

geometria

 

Ahora observa bien la figura siguiente que como estudiamos con anterioridad e hicimos la demostración correspondiente sobre el valor de un ángulo exterior de un triángulo, decíamos que era igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes:

geometria

 

El ángulo con vértice en O es igual a los valores de los ángulos cuyos vértices están en B y en P, podríamos escribir: geometria

Vemos que los ángulos geometria ambos valen en nuestro ejemplo 44º.

La igualdad geometria podemos escribirla geometria por ser iguales los ángulos geometria

Esto quiere decir que geometria podemos escribir: geometria y de esta igualdad despejamos geometria:

geometria

 

Comprobamos que el ángulo central en geometria vale 88º, es decir, el doble que los ángulos inscritos geometriay abarca el arco geometriaEsto significa que la medida del arco que abarca el ángulo geometria o el ángulo geometria valdrán la mitad de lo que abarca el ángulo central geometria, es decir, geometria.

 

El valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, luego, la medida del arco correspondiente a un ángulo inscrito equivale a la mitad del arco que comprenden sus lados o a la mitad del ángulo central correspondiente.

 

3) Ángulo semi-inscrito: El ángulo semi-inscrito es el que su vértice se encuentra en un punto de la circunferencia, y sus lados, uno es tangente y el otro secante con relación a la circunferencia:

geometria

 

En la figura siguiente señalamos el centro y creamos el ángulo central geometria. El lado geometriadel ángulo central es perpendicular al lado secante geometria. El lado geometriadel ángulo central es perpendicular al lado tangente geometria:

 

geometria

 

Pasamos a la figura siguiente y puedes ver que hemos creado los ángulos geometria que abarca el arco geometria y geometriaque abarca el arco geometria, es decir, los ángulos en geometriay en geometria.

Estos ángulos son iguales (en este caso miden 46º) porque sus lados son perpendiculares:

geometria

 

geometria

 

El arco geometria corresponde al ángulo central geometria de 46º. Podemos escribir:

geometria

Como el valor del arco correspondiente al ángulo central es el que abarcan sus lados escribimos:

geometria

También podemos decir que:

 

geometria debido a que OD es mediatriz de CE.

 

Como el arco geometria es la mitad del arco geometria podemos escribir:

geometria

Como geometria, podemos decir que también: geometria Si ahora sustituyes :

geometria tenemos la igualdad : geometria

La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan los lados.
Todo lo explicado sobre el ángulo semi-inscrito lo puedes ver en el gráfico siguiente:

 

geometria

 

Sucede como si se tratara de un ángulo inscrito. Comprobamos que la medida del ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del ángulo central y es igual, a la mitad de la medida del arco que abarcan sus lados.

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