LECCION 24ª
Teorema de la probabilidad total
El Teorema de la
probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso
a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo:
supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra
un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%.
Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de
que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva
y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula
para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad
de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente)
es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades
condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad
de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad
de cada suceso A.
Para
que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A
tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen
todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el
100%).
Ejemplo:
al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso
"salir cruz" forman un sistema completo, no hay más
alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%
Ejemplo:
al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un
sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría
salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema
de la probabilidad total.
Ejercicio
1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con
las siguientes probabilidades de ser elegidas:
a)
Amarilla: probabilidad del 50%.
b)
Verde: probabilidad del 30%
c)
Roja: probabilidad del 20%.
Según
el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes
sorteos. Así, si la papeleta elegida es:
a)
Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar
del 40%.
b)
Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar
del 60%
c)
Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar
del 80%.
Con
esta información, ¿qué probabilidad tienes de
ganar el sorteo en el que participes?:
1.-
Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades
suman 100%
2.-
Aplicamos la fórmula:
Luego,
P
(B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por
tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
Ejercicio
2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a)
Carlos, con una probabilidad del 60%
b)
Juan, con una probabilidad del 30%
c)
Luis, con una probabilidad del 10%
En
función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad
de que te suban el sueldo es la siguiente:
a)
Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del
5%.
b)
Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del
20%.
c)
Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del
60%.
En
definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:
1.-
Los tres candidatos forman un sistema completo
2.-
Aplicamos la fórmula:
P
(B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por
tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas
claro amigo...
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