Lección 6ª

 

 

 

 

 

   

VOLUMEN DEL ICOSAEDRO


Calcular el volumen del icosaedro aplicando una fórmula es una tarea sencilla, basta copiar la fórmula y aplicar los datos. Lo importante es deducir esta fórmula.
Este trabajo requiere que lleves a cabo los pasos siguientes teniendo muy en cuenta lo que en ellos vas leyendo. Procura acompañarte de tus propios dibujos.

1) Todo icosaedro está compuesto por 20 caras (triángulos equiláteros). Estas caras podemos considerarlas como bases de pirámides cuya altura  se encuentra en el centro del icosaedro.

Es fundamental que te fijes bien en la figura que estudiaste para construir un icosaedro a partir de tres rectángulos áureos.
Se trata de la figura:

A continuación resaltamos con líneas de color rojo que nos señalan los lados de un  triángulo equilátero que a su vez es la base de una pirámide y después, una de las caras laterales de esta pirámide:

 

Por lo tanto, ves en la figura anterior con aristas de color rojo una pirámide con vértice en el centro del icosaedro. Como si fuese una pirámide invertida, tal como la tienes a la derecha. Con color azul más intenso es la base de la pirámide o una de las caras del icosaedro y azul claro una de las caras laterales de la pirámide.

2) Vas a tener en cuenta que tomamos como longitud de un lado del triángulo equilátero la unidad en todo este proceso. En la siguiente figura observas la base de la pirámide en la que hemos calculado el lugar donde se cortan las alturas (líneas amarillas) de un triángulo u ortocentro, señalado con una O:

Se trata del centro del triángulo equilátero.

El ortocentro, recordarás que, dista de los vértices de su longitud (longitud de la altura) y de esa longitud con relación al lado:


Calculamos la altura del triángulo de la última figura:

En la figura siguiente:

 las distancias OA, OB y OC miden:      

  y las distancias OD, OE y OF miden:

3) El área del triángulo de la figura anterior vale:

4) La mayor dificultad se encuentra en el cálculo de la altura de la pirámide.
Vas a fijarte bien en la figura siguiente:

 

El triángulo ABC  es la cara del icosaedro escogida y base de la pirámide cuyo vértice es H.
Observa  que el lado del triángulo coincide con el lado menor del rectángulo áureo de color amarillo y por eso, el lado menor del rectángulo vale 1:
Calculamos el lado mayor del rectángulo áureo y para ello dibujamos un cuadrado de 1 de lado:

Lógicamente, la mitad del lado de la base valdrá .

Calculamos la diagonal:

Colocamos su valor en el lugar que le corresponde:

Trazamos un arco con centro en la mitad del lado de la base y radio igual a la diagonal obtenida, desde el vértice superior derecho hasta la prolongación de la base:

El lado de la base en este momento vale:

Con las nuevas medidas dibujamos el nuevo rectángulo áureo:

El lado mayor del rectángulo áureo dedujimos que vemos que vale

En la figura siguiente trazamos la apotema de la cara lateral de la pirámide. Se trata de la distancia KH(en la figura siguiente).

Esta distancia será igual a la mitad de la longitud del lado mayor del rectángulo áureo, es decir,

La longitud OK, según hemos calculado anteriormente es:

Teniendo en cuenta que la figura anterior tiene una pequeña inclinación, las distancias OK y OH (altura de la pirámide) son los catetos del triángulo rectángulo OKH  y KH es la hipotenusa o altura o apotema de la cara lateral de la pirámide, tal como lo ves a continuación en los que se incluyen los valores de las medidas que hasta ahora hemos calculado:

Recuerda que partimos como medida del lado del triángulo la unidad.
Ahora tenemos que calcular la altura de la pirámide para hallar después su volumen. Por Pitágoras tenemos:

5) Al estudiar el volumen del tetraedro recordarás que distinguíamos entre prisma y poliedro. Nos referíamos a que el volumen de tres tetraedros equivalían al de un prisma que tenga la misma base y altura del poliedro tetraedro.
En este caso sucede lo mismo.
Calculamos el volumen de esta pirámide de arista 1 multiplicando el área de la base por la altura y lo dividimos por 3:

Como el icosaedro tiene 20 pirámides del mismo volumen, a este último resultado multiplicaremos por 20 y simplificamos:

Hemos deducido la fórmula para cuando la arista vale 1. En el caso de que valiera a, bastaría multiplicar el resultado anterior por quedándonos la fórmula completa:

 

¿Por qué tenemos que multiplicar por ?
Porque los cálculos los hemos hecho con valor 1, si la arista hubiese valido 5 tendríamos que multiplicar por  ya que este valor de 5, tendríamos que haberlo multiplicado por sí mismo 3 veces en el curso del cálculo por tratarse del volumen (3 dimensiones).

 

OTRA PRESENTACIÓN DE LA FÓRMULA DEL VOLUMEN DEL ICOSAEDRO
La fórmula que hemos obtenido es bastante larga.
La profesora francesa de matemáticas llamada Jacqueline Nimier se dio cuenta que en el cálculo de la altura de la pirámide:

si multiplicaba por 2 a cada término que se encuentra dentro de la raíz, es decir

Conseguía que el numerador de la fracción dentro de la raíz convertirlo en un producto notable:

Sacamos fuera de la raíz cuanto podemos del numerador y denominador:

 

Como conocemos el área de la base aplicamos la fórmula del volumen de una pirámide:

Como un icosaedro tiene 20 pirámides calculamos el volumen del icosaedro:

Gracias a la genial idea de esta profesora consiguió, como ves, una fórmula más sencilla (en el caso de la arista valga 1):
 En el caso de que la arista valiera a, este valor multiplicaríamos por  y nos quedaría:

Aplicación:

Calcula el volumen de un icosaedro de 3 cm. de arista. Haz uso de las dos fórmulas en el cálculo del mismo.

15(3).12   ¿Cuántos vértices tiene un icosaedro?

Respuesta: 12 vértices

15(3).13     ¿Cuántas aristas tiene un icosaedro?

Respuesta: 30 aristas

15(3).14    ¿Cuántas caras concurren en un vértice del icosaedro?

Respuesta: 5 caras