Renta perpetua constante
La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales (p.e. un título de deuda pública a perpetuidad a tipo fijo).
Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada subperiodo) o prepagables (se originan al principio de los subperiodos).
A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES
Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias:
Periodo | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ..... | ..... | ..... | ..... | ..... |
Importe (ptas) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada importe:
Periodo | Importe | Importe descontado |
1 | 1 | 1 / ( 1 + i ) |
2 | 1 | 1 / ( 1 + i )^2 |
3 | 1 | 1 / ( 1 + i )^3 |
4 | 1 | 1 / ( 1 + i )^4 |
5 | 1 | 1 / ( 1 + i )^5 |
..... | 1 | 1 / ( 1 + i )^.... |
..... | 1 | 1 / ( 1 + i )^.... |
..... | 1 | 1 / ( 1 + i )^.... |
La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
APo = 1 / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula APo = 1 / i |
luego, APo = 1 / 0,16 |
luego, APo = 6,25 ptas. |
Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * APo = C / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:
Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral |
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 |
Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2 |
Luego, i2 = 4,88% |
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i |
luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488 |
luego, Vo = 20.491.803 ptas. |
En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca finalizan).
B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES
Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por Po.
Periodo | Importe | Importe descontado |
1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 1 / ( 1 + i ) |
3 | 1 | 1 / ( 1 + i )^2 |
4 | 1 | 1 / ( 1 + i )^3 |
5 | 1 | 1 / ( 1 + i )^4 |
..... | 1 | 1 / ( 1 + i )^.... |
..... | 1 | 1 / ( 1 + i )^.... |
..... | 1 | 1 / ( 1 + i )^.... |
Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
Po = (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula Po = (1 + i) / i |
luego, Po = (1 + 0,16) / 0,16 |
luego, Po = 7,25 ptas. |
Si la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * Po = C * (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral prepagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:
Aplicamos la fórmula de valor actual, Vo = C * (1 + i) / i |
luego, Vo = 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488 |
luego, Vo = 21.491.803 ptas. |
La relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable Po es la siguiente:
Po = (1 + i) * APo
Comprobar esta relación con el ejemplo de la renta unitaria.
