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Curso gratis de Áreas Geométricas - Cálculo del Área de la Lúnula

En primer lugar tenemos que saber que es la lúnula. En las uñas de los dedos de las manos, especialmente en los dedos pulgares puedes apreciar en la parte inferior un semicírculo blanquecino, a esa zona de la uña llamamos lúnula (palabra que procede del latín: lunula = pequeña luna). Puedes apreciar cuanto acabamos de decir en el dibujo siguiente:


areas-geometria

Te preguntarás que tiene que ver esto con la geometría.

También en geometría se estudia la lúnula.

1º Dibujamos un cuadrante (se trata del primer cuadrante en color gris):

areas-geometria

Unimos los puntos A y B:

areas-geometria

Hallamos el punto medio del segmento areas-geometriaque mide 5,66 cm., y trazamos con esta medida un semicírculo que pase por los puntos A y B y la zona en color verde de la figura siguiente es la lúnula:

areas-geometria

Para calcular el área de color verde (lúnula) tenemos que restar le área del segmento circular en color rojo.

Comenzamos el cálculo del área de lúnula:
1º. Calculamos el área del semicírculo del que forma parte la lúnula (la zona en color rojo y verde) que tiene 2,85 cm., de radio:

areas-geometria

Dividimos por 2 por tratarse de un semicírculo.

2º Para calcular el área del segmento circular hallamos antes el área del sector circular correspondiente a un ángulo de 90º; en gris tienes el primer cuadrante, es decir, la cuarta parte de todo el círculo que tiene por radio un segmento de 4 cm., cuya área es:

areas-geometria

Hemos dividido al área de todo el círculo de radio 4 cm., por 4 porque queremos saber el área de uno de los 4 cuadrantes.

3º) Ahora calculamos el área del triángulo cuya altura es de 2,85 cm., y su base 5,66:

areas-geometria

La diferencia entre el área del sector circular y el área del triángulo será el área del segmento circular:

areas-geometria

4º) El área de la lúnula la obtendremos al restar, el área del semicírculo menos el área del segmento circular:

areas-geometria

Otra forma de calcular el área de lúnula es:

areas-geometria

Área del semicírculo: areas-geometria

Le quitamos el área del sector circular: areas-geometria

areas-geometria

Hallamos el área del triángulo: areas-geometria

A este resultado le sumamos la diferencia entre el área del semicírculo y del sector circular: areas-geometria

15(2).33 Dibuja las lúnulas correspondientes a los catetos de un triángulo rectángulo cuyas medidas en centímetros las tienes en la figura siguiente y demuestra que la suma de sus áreas corresponden al área del triángulo.

areas-geometria

Hallamos el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo, es decir, el circuncentro o el lugar donde se cortan las mediatrices (mediatriz es la recta perpendicular a un segmento y que pasa por su punto medio) y trazamos la circunferencia:

areas-geometria

Las mediatrices, en color negro, son perpendiculares a los lados del triángulo pasando por los puntos medios A, B y C de cada lado. Una vez trazada la circunferencia ves que el triángulo ha quedado inscrito.
A partir de los puntos medios de los catetos trazamos 2 circunferencias color magenta con radio igual a la mitad del lado:

areas-geometria

De este modo hemos conseguido las lúnulas correspondientes a los catetos A y B:

areas-geometria

Vamos a eliminar curvas y segmentos que para nuestro cálculo no los necesitamos.

Al mismo tiempo, sirviéndonos del transportador de ángulos, una regla y un compás calculamos algunas medidas de las que vamos a necesitar:

areas-geometria

Calculamos el área de la lúnula 1:

1º) Hallamos el área de la superficie del semicírculo en rojo de la siguiente figura en la que el radio vale areas-geometria

areas-geometria

y el área del semicírculo es: areas-geometria

2º) Hallamos el área del sector circular en verde de la figura siguiente, sabiendo que el radio vale areas-geometria

areas-geometria

Si a 360º corresponde un área de areas-geometria

a 103º corresponderá un área de areas-geometria

areas-geometria

3º) Hallamos el área del triángulo en color gris que como vemos en la figura siguiente conocemos la base la altura:

areas-geometria

areas-geometria

4º) El área de la lúnula 1 será:

areas-geometria

Calculamos el área de la lúnula 2:
1º) Hallamos el área de la superficie del semicírculo en rojo de la siguiente figura en la que el radio vale la mitad del lado: 3,44 cm.

areas-geometria

y el área del semicírculo es: areas-geometria

2º) Hallamos el área del sector circular en verde de la figura siguiente, sabiendo que el radio vale areas-geometria

areas-geometria

Si a 360º corresponde un área de areas-geometria

a 77º corresponderá un área de areas-geometria

areas-geometria

3º) Hallamos el área del triángulo en color gris que como vemos en la figura siguiente conocemos la base la altura:

areas-geometria

areas-geometria

4º) El área de la lúnula 2 será:

areas-geometria

La suma de las áreas de las dos lúnulas es:

areas-geometria

El área del triángulo rectángulo de la siguiente figura es:

areas-geometria

que como vemos tiene 5,22 cm., de altura y 11 cm., de base, el área es:

areas-geometria

Puedes comprobar que la suma de las áreas de las lúnulas correspondientes a los catetos del triángulo rectángulo es igual al área del triángulo.

Con las lúnulas podemos realizar algunas figuras geométricas interesantes:

areas-geometria

Tienes cuatro lúnulas girando 90º alrededor de un punto.

En sentido horizontal:

areas-geometria

Por fin, una muestra de:

areas-geometria

Esta figura la hemos girado 6º alrededor del vértice A lo que quiere decir que, hemos utilizado 60 veces el mismo dibujo y hemos obtenido el resultado de la figura siguiente:

areas-geometria

Autor: Agradecemos a Don Ignacio Pujana el envío de este magnífico curso.

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