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Octaedro, Volúmen del Octaedro

Si en cada vértice de un poliedro concurren 4 triángulos equiláteros entonces obtenemos un OCTAEDRO (octa = 8, edros = caras):

Octaedro, Volúmen del Octaedro

Cada vértice poliédrico vale 60º x 4 = 240º , es decir, menos de 360º.

Construye un octaedro:
Sirviéndote de una cartulina, tijeras, reglas y pegamento dibuja 8 triángulos equiláteros con sus correspondientes solapas.

Corta la cartulina por el contorno del dibujo.

Dobla la cartulina por las líneas del contorno de los triángulos y solapas.
Extiende el pegamento por encima de las solapas y después las pegas.

Construye un octaedro

15(3).12 ¿Cuántos vértices tiene un octaedro?

Respuesta: 6 vértices

15(3).13 ¿Cuántas aristas tiene un octaedro?

Respuesta: 12 aristas

15(3).14 ¿Cuántas caras concurren en un vértice del octaedro?

Respuesta: 4 caras

VOLUMEN DEL OCTAEDRO.


Vamos a deducir la fórmula y para ello nos servimos de lo estudiado en el cálculo del volumen del tetraedro.

En la siguiente figura hemos dibujado un octaedro:

VOLUMEN DEL OCTAEDRO.

En primer lugar calculamos el valor de la apotema. El triángulo rectángulo en color amarillo nos muestra un cateto que es la apotema (ap), la arista (a) que es la hipotenusa y el segundo cateto (a/2). Aplicando el teorema de Pitágoras:

teorema de Pitágoras

Extraemos la raíz cuadrada en ambos términos de la igualdad:

valor de la apotema

Ahora vamos a calcular el área de una cara:
Conocemos la base del triángulo equilátero que es una de sus 8 caras (a) y conocemos la altura del triángulo (ap):

área de una cara

Para calcular el volumen vas a fijarte en la figura que tienes a continuación:

volumen

El triángulo rectángulo de color verde tiene como hipotenusa el valor de la ap (apotema) , uno de los catetos es la altura de la mitad del octaedro que lo hemos representado por (h).

El otro cateto vale la mitad de la arista, es decir mitad de la arista

En la siguiente figura puedes ver una aclaración:

mitad de la arista

En esta última figura ves que uno de los catetos vale  catetos

La altura h de la mitad del octaedro vale teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras:

mitad del octaedro

La mitad del octaedro sería incluyendo los datos que nos interesan:

mitad del octaedro

Fíjate qirue la base de esta mitad del octaedro es un cuadrado que tiene un lado cuyo valor es el de la arista (a).

El volumen de este semioctaedro será, teniendo en cuenta que se trata de un poliedro y no un prisma (tenemos que dividir por 3):

volumen de  semioctaedro

El volumen del octaedro será el doble, es decir:

 volumen del octaedro

15(3).15 Halla el volumen de un octaedro de 5 m. de arista.

Respuesta:  volumen del octaedro

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