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Curso gratis de Ángulos y Distancias - Perpendidular común de dos rectas que se cruzan o dos rectas cruzadas

En esta ocasión, en lugar de obtener una fórmula para su aplicación directa, vamos a hacer, paso a paso, un caso práctico.

Se trata de hallar una recta, la más corta, que une dos puntos de dos rectas que se cruzan en el espacio tal como lo tienes en la figura siguiente:

Perpendidular común de dos rectas que se cruzan o dos rectas cruzadas

24.27 Escribe la ecuación de la perpendicular común a las rectas que tienes en la última figura sabiendo que:

ecuación de la perpendicular comúny ecuación de la perpendicular común

Tendrá dos soluciones dependiendo a que recta nos referimos

Respuesta: ecuación de la recta perpendicular común:

 recta perpendicular común

Solución
De la recta r conocemos:
El punto P = (1, 3, -1)

vector director vector = (2, 1, -2)

De la recta s conocemos:

El punto Q = (0, -1, 1)
vector director vector = (-2, 1, 2)

Las componentes del vector componentes del vector son:

componentes del vector

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores nos da el vector perpendicular a ellos:

producto vectorial de dos vectores

En la recta PQ tomamos un punto cualquiera o genérico que lo llamamos A cuyas componentes (generalizando) son (x, y, z):

Perpendidular común de dos rectas que se cruzan o dos rectas cruzadas

El vector El vector

El vector director El vector director

El vector obtenido de El vector director es perpendicular a r.
Tengo todos los datos necesarios para hallar la ecuación en forma implícita de la recta perpendicular:

perpendicula

Resolvemos:

recta perpendicular

Haciendo operaciones:

operaciones

Vemos que la ecuación de la recta perpendicular teniendo en cuenta los datos de la recta r es: ecuación

Si tenemos en cuenta los datos de la recta s:

la recta

vector

El vector director El vector director

El vector obtenido de El vector obtenido

El vector obtenido

Resolvemos:

ecuación

Haciendo operaciones:

operaciones

Vemos que la ecuación de la recta perpendicular teniendo en cuenta los datos de la recta s es:

recta

24.28 Escribe la ecuación de la perpendicular común a las rectas que tienes en la última figura sabiendo que:

ecuación de la perpendicular y ecuación de la perpendicular

Respuesta: ecuación de la recta perpendicular común:

ecuación de la perpendicular común

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