Lección nº 2

 

 

 

 

 

 

       

 

NUMEROS ENTEROS

 

 

Los números enteros incluyen tanto los números naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3,….), como los números negativos (-1, -2, -3…)

El valor opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado:

El opuesto de -3 es 3
El opuesto de 5 es -5

El valor absoluto de un número entero es su valor sin considerar el signo. El valor absoluto de un número entero se expresa |3|.

Ejemplo:

|1| = 1
|-1| = 1

Vemos que un número (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor absoluto.

Al ordenar los números enteros de menor a mayor primero van lo negativos y luego los positivos:

... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 …

 

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

a) Suma:

Si todos son números enteros positivos se suman igual que los números naturales.

(+4) +(+ 5) + (+6) = 15

(*) Hemos puesto los números dentro de paréntesis con signos positivos para recalcar que son enteros positivos, pero esta suma realmente se escribiría: 4 + 5 + 6 = 15

Si todos son números enteros negativos se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo negativo.

(- 5) + (-7) + (- 4) = |5| + |7| + |4| = |16| = -16

Si hay números enteros positivos y negativos:

(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9)

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 4) + (+2) = 6

Por otro lado sumamos los números negativos:

(-5)+ (-9) = |5| + |9| = -14

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el valor absoluto mayor |14|y como sustraendo el valor absoluto menor |6|.

14 – 6 = 8

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (-14), luego:

(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) = -8

 

b) Resta:

(+4) – (+5) – (-6)

La resta de números enteros se puede tratar como una suma. Para ello sustituimos el signo de la resta (-) por el de la suma (+) pero al hacer esta sustitución tenemos también que cambiar el signo del número que va restando:

(5) es positivo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (-5).

(-6) es negativo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (6).

La operación queda como una suma:

(+ 4) + (- 5) + (+ 6)

Ahora procedemos igual que en la suma.

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 4) + (+ 6) = 10

Por otro lado sumamos los números negativos:

(- 5) = - 5

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |10|y como sustraendo el de menor valor absoluto |5|.

10 – 5 = 5

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (10), luego:

4 – (5) – (-6) = 5

 

c) Sumas y restas:

(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9)

Aquellos números que vayan restando sustituimos el signo de la resta por el de la suma y al número le cambiamos el signo:

(+ 7) + (+ 5) + (-2) + (- 9)

Ahora procedemos igual que en la suma.

Por un lado sumamos los números positivos:

(+ 7) + (+ 5) = 12

Por otro lado sumamos los números negativos:

(- 2) + (- 9) = - 11

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |12| y como sustraendo el de menor valor absoluto |11|.

12 – 11 = 1

El resultado de la resta tendrá el signo del minuendo (12), luego:

(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) = 1

Veamos otro ejemplo:

(+ 2) - (- 7) - (+2) - (- 9)

Sustituimos los signos de resta por el de suma pero cambiando el signo del valor que va restando:

(+ 2) + (+ 7) + (-2) + (+ 9)

Sumamos los números positivos:

(+ 2) + (+ 7) + (+ 9) = 18

Sumamos los números negativos:

(- 2)

Restamos los valores absolutos:

|18| - |2| = 16

Como el minuendo es positivo el resultado es también positivo

 

d) Multiplicación

Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos, como si fueran números naturales, pero a continuación hay que prestar atención al signo del resultado:

Si todos los factores son positivos el resultado es positivo.

Si hay factores negativos hay que distinguir:

Si el número de factores negativos es par el resultado es positivo.

Si el número de factores negativos es impar el resultado es negativo.

Veamos algunos ejemplos:

( + 3) x (+ 4) = |3| x |4| = 12 (todos los factores son positivos)

( + 3) x (- 4) = |3| x |4|= -12 (hay un factor negativo: luego el número de factores negativos es impar)

(- 3) x (- 4) = |3| x |4|= 12 (hay dos factores negativos: el número de factores negativos es par, por lo que el resultado es positivo)

Veamos más ejemplos:

(+ 2) x (+ 6) x (+5) = |2| x |6| x |5|= 60

(+ 2) x (+ 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60

(+ 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= 60

(- 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60

 

e) División

En la división se opera igual que en la multiplicación de números enteros: se dividen los valores absolutos, igual que cuando operamos con números naturales, y a continuación hay que ver el signo del resultado:

Si dividendo y divisor tienen el mismo signo (lo dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo.

Si dividendo y divisor tienen distinto signo (uno es positivo y otro es negativo) el resultado es negativo.

Ejemplos:

(+8) : (+4) = |8| x |4|= 2

(-8) : (-4) = |8| x |4|= 2

(+8) : (-4) = |8| x |4|= -2

(-8) : (+4) = |8| x |4|= -2

 

f) Potencia

La base puede ser un número entero positivo o negativo, pero el exponente siempre tiene que ser positivo.

El valor absoluto de la base se eleva a la potencia, igual que con los números naturales, pero hay que prestar atención al signo:

Si la base es positiva el resultado siempre es positivo.

Si la base es negativa el signo depende del exponente:

Si el exponente es un número par el resultado es positivo

Si el exponente es un número impar el resultado es negativo.