21ª CLASE
Renta diferida y anticipada (II).

22ª CLASE
Rentas constantes: Ejercicios (I).

23ª CLASE
Rentas variables.

24ª CLASE
Rentas con distintos tipos de interés.




Lección 20: Renta diferida y anticipada (I)

    La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner en vigor dentro de 6 meses.

    La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un momento posterior a la finalización de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depósitos mensuales que fui realizando en un banco y que finalicé hace unos meses.

    En la modalidad de renta diferida, lo que varía respecto a los modelos que hemos venido analizando es el calculo del valor inicial, ya que el valor final  coincide con la terminación de la renta (al igual que en los modelos que hemos visto).

    En la renta anticipada, la peculiaridad está en el cálculo del valor final, ya que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta .

    Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado:

Una renta diferida puede ser una renta temporal (prepagable o pospagable), o una renta perpetua (también prepagable o pospagable).

Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en rentas temporales, nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan nunca.

    Vamos a analizar ahora en que medida estas peculiaridades afectan al cálculo del valor actual de la renta.

A) RENTA DIFERIDA

    Vamos a suponer que entre el momento de la valoración y el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos.

    Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado, en los que se descontaban los importes hasta el momento de inicio de la renta, está en que en el caso de la renta diferida hay que descontar cada importe "d" periodos adicionales.

    Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo 

Importe descontado 

Importe descontado 
x
(Renta normal)
(Renta diferida)
x
1
1 / ( 1 + i )
1 / ( 1 + i )^1+d
2
1 / ( 1 + i )^2
1 / ( 1 + i )^2+d
3
1 / ( 1 + i )^3
1 / ( 1 + i )^3+d
 .....
.....
.....
 .....
.....
.....
n-2
1 / ( 1 + i )^n-2
1 / ( 1 + i )^n-2+d
n-1
1 / ( 1 + i )^n-1
1 / ( 1 + i )^n-1+d
n
1 / ( 1 + i )^n
1 / ( 1 + i )^n+d

       Luego, el valor actual sería el siguiente:
x
Renta normal
Renta diferida
x
Valor actual
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i 
Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 

    Este mismo razonamiento se aplica en todos los caso. En el siguiente cuadro se presentan las fórmulas del valor inicial de una renta diferida en los distintos supuesto:
Tipo de renta
Renta normal
Renta diferida
x
Temporal pospagable
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/i 
d/Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 
x
Temporal prepagable
Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) 
d/Äo = (1+i)^-d+1 * ((1 - (1 + i)^-n)/i)  
x
Perpetua pospagable
APo = 1 / i  
d/APo = (1+i)^-d / i 
x
Perpetua prepagable
ÄPo = (1 + i) / i  
d/ÄPo = (1+i)^-d+1 / i  
x

    Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 300.000 pesetas, con un tipo de interés anual del 16%, y que se encuentra diferida  2 años:
    x

    Aplicamos la fórmula Vo = C * d/APo  
    x

    luego, Vo = 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16  

    luego, Vo = 1.393.430 ptas.  

    Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 1.000.000 ptas. durante 7 años, con un tipo de interés anual del 8%, y que se encuentra diferida 3 años:

Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral 
x

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 

luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2  

luego, i2 = 3,92%  
x

Aplicamos ahora la fórmula de valor actual,  Vo = C *d/Äo 
x

luego,  Vo = C * (1+i2)^-d+1 * ((1 - (1 + i2)^-n)/i2)

luego,  Vo = 1.000.000*(1,0392)^-6+1 * ((1 - (1,0392)^-14)/0,0392)

(los periodos van expresados en semestres)

luego,  Vo = 1.000.000*0,825*10,619

luego,  Vo = 8.760.783 ptas.

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