AulaFácil -

18ª CLASE
Renta temporal constante prepagable (II).

19ª CLASE
Renta perpetua constante.

20ª CLASE
Renta diferida y anticipada (I).

21ª CLASE
Renta diferida y anticipada (II).

Lección 17: Renta constante temporal prepagable (I)

La renta constante temporal prepagable es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al comienzo de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al comienzo de cada mes).

Para ver como se calcula su valor capital vamos a comenzar, nuevamente, por estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1 pta. en cada periodo)

Periodo

1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n

Importe (ptas)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Äo. Como vimos en el caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento compuesto

Vamos descontando cada importe:

Periodo

Importe

Importe descontado

1 1 1

2 1 1 / ( 1 + i )

3 1 1 / ( 1 + i )^2

..... ..... .....
..... ..... .....

n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-3

n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-2

n 1 1 / ( 1 + i )^n-1

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Äo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 4 años, con un tipo de interés anual del 16%:

Aplicamos la fórmula Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

luego, Äo = (1 + 0,16) * ((1 - (1 + 0,16)^-4) / 0,16)

luego, Ao = 1,16 * 2,7982

luego, Ao = 3,246 ptas.

Luego el valor actual de esta renta es 3,246 ptas.

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual

Este valor actual Äo guarda la siguiente relación con el valor actual Ao de una renta pospagable:

Äo = (1 + i) * Ao

Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta era pospagable:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-4)/ 0,16

luego, Ao = 2,7982 ptas.

Hay que demostrar que Äo = (1 + i) * Ao

luego, Äo = 1,16 * 2,7983

luego, Äo = 3,246 ptas. (coincide con el valor que habíamos calculado)

Vemos, por tanto, como se cumple la relación

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S¨f, se utiliza la ley de capitalización compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta unitaria:

Periodo

Importe

Importe capitalizado

1 1 1 * ( 1 + i )^n

2 1 1 * ( 1 + i )^n-1

3 1 1 * ( 1 + i )^n-2

..... ..... .....
..... ..... .....

n-2 1 1 * ( 1 + i )^3

n-1 1 1 * ( 1 + i )^2

n 1 1 * ( 1 + i )

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)