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Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

 

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

 

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

 

La fórmula del Teorema de Bayes es:

 

Estadistica

 

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

 

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

 

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

 

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

 

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

 

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

Estadistica

 

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

 

Estadistica

 

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

 

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

 

Estadistica

 

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

 

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

 

Estadistica

 

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

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